A distância entre duas placas paralelas e horizontais é 4 mm . Um fluido viscoso (densidade relativa =0,9 \mathrm{e} viscosidade dinâmica =0,27 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa entre as placas com velocidade média de 0,98 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a queda de pressão deste escoamento por unidade de comprimento na direção do escoamento. Qual é a velocidade máxima deste escoamento?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A queda de pressão por unidade de comprimento na direção do escoamento.
  2. A velocidade máxima desse escoamento.
Informações fornecidas (vou listar todas e em TeX):
  • Distância entre as placas (separação) h = 4\\ \text{mm} = 4\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média do escoamento \overline{u} = 0,98\\ \mathrm{m/s}.
  • Viscosidade dinâmica \mu = 0,27\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • Densidade relativa =0,9, então a densidade do fluido é \rho = 0,9\times 1000 = 900\\ \mathrm{kg/m^{3}} (usei 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} como densidade da água).
Observação: o enunciado não diz que as placas se movem, nem há menção a forças externas além de um escoamento unidimensional estacionário; portanto usaremos o caso clássico de escoamento laminar, totalmente desenvolvido, entre placas paralelas fixas (escoamento de Poiseuille plano). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Modelo físico e equação básica (explicação didática):
  • Para escoamento estacionário, incompressível, unidimensional e totalmente desenvolvido entre duas placas planas e paralelas separadas por h, a equação de Navier–Stokes na direção do escoamento x reduz-se a um balanço simples entre gradiente de pressão e tensão viscosa:
\frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{1}{\mu}\frac{d p}{d x},
onde:
  • u(y) é a velocidade na direção x que varia apenas com a coordenada y (normal às placas),
  • \mu é a viscosidade dinâmica,
  • \frac{d p}{d x} é o gradiente de pressão (negativo se a pressão decresce no sentido do escoamento).
    Explicando: a segunda derivada aparece porque a tensão viscosa é proporcional à gradiente de velocidade e, no regime laminar totalmente desenvolvido, a aceleração convectiva é desprezível, restando equilíbrio entre viscosidade e pressão.

Passo 3

Integração da equação e aplicação das condições de contorno (aulas passo-a-passo):
Integramos duas vezes a equação
\frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{1}{\mu}\frac{d p}{d x}.
Integral primeira:
\frac{d u}{d y} = \frac{1}{\mu}\frac{d p}{d x}\,y + C_1.
Integral segunda:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\,y^2 + C_1 y + C_2.
Condições de contorno (efeito “no-slip”): placas fixas em y=0 e y=h implicam u(0)=0 e u(h)=0.
Usando u(0)=0 C_2=0.
Usando u(h)=0
0 = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\,h^2 + C_1 h,
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C_1 = -\frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\,h.
Substituindo C_1 e C_2 em u(y) obtemos o perfil de velocidade:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(y^2 - hy\right).
Observação: normalmente o gradiente de pressão é negativo (pressiona empurra o fluido), então podemos escrever em termos de -\frac{d p}{d x}>0. Uma forma mais clara é
u(y) = \frac{-1}{2\mu}\left(\frac{d p}{d x}\right)_{\text{(negativo)}}\left( hy - y^2 \right).

Passo 4

Velocidade máxima (onde ocorre e relação com o gradiente):
  • O perfil é parabólico; a velocidade máxima ocorre no centro entre as placas, y = h/2.
    Avaliaremos u_{\max} = u\!\left(\tfrac{h}{2}\right):
u_{\max} = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 - h\cdot\frac{h}{2}\right) = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(\frac{h^2}{4} - \frac{h^2}{2}\right) = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(-\frac{h^2}{4}\right).
Reorganizando em termos de -\frac{d p}{d x} positivo:
u_{\max} = \frac{(-\,d p/d x)\,h^2}{8\mu}.
Essa é uma fórmula útil direta: \displaystyle u_{\max}=\frac{h^2}{8\mu}\left(-\frac{d p}{d x}\right).

Passo 5

Velocidade média e relação com o gradiente (método para obter queda de pressão):
A velocidade média \overline{u} é a média do perfil em y\in[0,h]:
\overline{u}=\frac{1}{h}\int_{0}^{h} u(y)\,dy.
Substituindo u(y)=\dfrac{1}{2\mu}\dfrac{d p}{d x}(y^2-hy) e integrando:
\int_{0}^{h} (y^2-hy)\,dy = \left[\frac{y^3}{3} - \frac{h y^2}{2}\right]_0^h = \frac{h^3}{3} - \frac{h^3}{2} = -\frac{h^3}{6}.
Portanto
\overline{u} = \frac{1}{h}\cdot\frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(-\frac{h^3}{6}\right) = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(-\frac{h^2}{6}\right).
Rearranjando para -\dfrac{d p}{d x} (queda de pressão por unidade de comprimento, positiva):
-\frac{d p}{d x} = \frac{12\mu\,\overline{u}}{h^2}.
Também podemos verificar a relação entre \overline{u} e u_{\max}. Usando as fórmulas achadas:
u_{\max} = \frac{h^2}{8\mu}\left(-\frac{d p}{d x}\right) \quad\text{e}\quad \overline{u} = \frac{h^2}{12\mu}\left(-\frac{d p}{d x}\right),
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\overline{u} = \frac{2}{3}\,u_{\max}\quad\Rightarrow\quad u_{\max}=\frac{3}{2}\,\overline{u}.
Isso é prático: basta multiplicar a velocidade média por 1{,}5 para obter u_{\max}.

Passo 6

Cálculo numérico da queda de pressão por unidade de comprimento:
Usaremos a fórmula
-\frac{d p}{d x} = \frac{12\mu\,\overline{u}}{h^2}.
Substituindo os valores (todos em SI):
\mu = 0{,}27\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},\quad \overline{u}=0{,}98\\ \mathrm{m/s},\quad h=4\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calculemos h^2 = (4\times 10^{-3})^2 = 16\times 10^{-6} = 1{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Agora o numerador:
12\mu\,\overline{u} = 12 \times 0{,}27 \times 0{,}98 = 3{,}1752.
Dividindo:
-\frac{d p}{d x} = \frac{3{,}1752}{1{,}6\times 10^{-5}} = 1{,}9845\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa/m}.
Arredondando razoavelmente:
-\frac{d p}{d x} \approx 1{,}98\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 7

Cálculo numérico da velocidade máxima:
Usando a relação direta u_{\max}=\dfrac{3}{2}\,\overline{u}:
u_{\max} = \tfrac{3}{2}\times 0{,}98 = 1{,}47\\ \mathrm{m/s}.
(ou usando a fórmula com o gradiente também daria o mesmo resultado).

Passo 8

Verificação rápida da hipótese de escoamento laminar (didática e segurança):
Calculamos o número de Reynolds característico para canal entre placas. Para um canal de altura h entre placas paralelas, o diâmetro hidráulico é D_h = 2h. Então
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,\overline{u}\,D_h}{\mu} = \frac{\rho\,\overline{u}\,2h}{\mu}.
Substituindo \rho=900\\ \mathrm{kg/m^3}, \overline{u}=0{,}98, h=4\times10^{-3} e \mu=0{,}27:
\mathrm{Re} \approx \frac{900\times 0{,}98 \times 2\times 4\times 10^{-3}}{0{,}27} = \frac{900\times 0{,}98 \times 8\times 10^{-3}}{0{,}27} \approx 26.
Como \mathrm{Re} é muito pequeno (muito abaixo de 2000), a suposição de regime laminar e perfil parabólico é validada.

Resposta

-\dfrac{d p}{d x} \approx 1{,}98\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa/m}\n
u_{\max} \approx 1{,}47\\ \mathrm{m/s}

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