A distância entre duas placas paralelas e horizontais é 4 mm . Um fluido viscoso (densidade relativa =0,9 \mathrm{e} viscosidade dinâmica =0,27 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa entre as placas com velocidade média de 0,98 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a queda de pressão deste escoamento por unidade de comprimento na direção do escoamento. Qual é a velocidade máxima deste escoamento?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
A queda de pressão por unidade de comprimento na direção do escoamento.
A velocidade máxima desse escoamento.
Informações fornecidas (vou listar todas e em TeX):
Distância entre as placas (separação) h = 4\\ \text{mm} = 4\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Velocidade média do escoamento \overline{u} = 0,98\\ \mathrm{m/s}.
Densidade relativa =0,9, então a densidade do fluido é \rho = 0,9\times 1000 = 900\\ \mathrm{kg/m^{3}} (usei 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} como densidade da água).
Observação: o enunciado não diz que as placas se movem, nem há menção a forças externas além de um escoamento unidimensional estacionário; portanto usaremos o caso clássico de escoamento laminar, totalmente desenvolvido, entre placas paralelas fixas (escoamento de Poiseuille plano). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Modelo físico e equação básica (explicação didática):
Para escoamento estacionário, incompressível, unidimensional e totalmente desenvolvido entre duas placas planas e paralelas separadas por h, a equação de Navier–Stokes na direção do escoamento x reduz-se a um balanço simples entre gradiente de pressão e tensão viscosa:
u(y) é a velocidade na direção x que varia apenas com a coordenada y (normal às placas),
\mu é a viscosidade dinâmica,
\frac{d p}{d x} é o gradiente de pressão (negativo se a pressão decresce no sentido do escoamento).
Explicando: a segunda derivada aparece porque a tensão viscosa é proporcional à gradiente de velocidade e, no regime laminar totalmente desenvolvido, a aceleração convectiva é desprezível, restando equilíbrio entre viscosidade e pressão.
Passo 3
Integração da equação e aplicação das condições de contorno (aulas passo-a-passo):
Integramos duas vezes a equação
Observação: normalmente o gradiente de pressão é negativo (pressiona empurra o fluido), então podemos escrever em termos de -\frac{d p}{d x}>0. Uma forma mais clara é
u(y) = \frac{-1}{2\mu}\left(\frac{d p}{d x}\right)_{\text{(negativo)}}\left( hy - y^2 \right).
Passo 4
Velocidade máxima (onde ocorre e relação com o gradiente):
O perfil é parabólico; a velocidade máxima ocorre no centro entre as placas, y = h/2.
Avaliaremos u_{\max} = u\!\left(\tfrac{h}{2}\right):
(ou usando a fórmula com o gradiente também daria o mesmo resultado).
Passo 8
Verificação rápida da hipótese de escoamento laminar (didática e segurança):
Calculamos o número de Reynolds característico para canal entre placas. Para um canal de altura h entre placas paralelas, o diâmetro hidráulico é D_h = 2h. Então