Em um experimento em leito fixo, água pura a 25^{\circ} \mathrm{C} e a uma velocidade de 5,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} entra em uma coluna com 1 m de comprimento recheada com esferas de ácido benzóico. A água sai em com 62 % da saturação total no ácido.
Dados: área interfacial específica das esferas \rightarrow a=23 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{cm}^{3}; solubilidade do ácido benzóico em água
a) Calcule o coeficiente de transferência de massa ao longo da coluna em unidades de \mathrm{cm} / \mathrm{s} .(\mathbf{0 , 0 0 2 1 ~ c m} / \mathrm{s})
b) Calcule a porcentagem de saturação da água em ácido benzóico no meio da coluna.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o coeficiente de transferência de massa k (unidades \mathrm{cm/s}); (b) a porcentagem de saturação da água no ponto médio da coluna.
As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{velocidade superficial do líquido: } U = \(5,0\\ \mathrm{cm/s}\),\\ &\text{comprimento da coluna: } L = \(1\\ \mathrm{m} = 100\\ \mathrm{cm}\),\\ &\text{área interfacial específica: } a = \(23\\ \mathrm{cm^{2}/cm^{3}}\),\\ &\text{saída da coluna: água com }62\%\text{ da saturação total, ou seja } \frac{C(L)}{C_s}=\(0,62\),\\ &\text{entrada: água pura, ou seja } C(0)=\(0\).} \end{aligned}
Aqui C(x) é a concentração da fase líquida em função da posição x (unidade arbitrária, por exemplo \mathrm{g/cm^{3}} ou \mathrm{mol/cm^{3}}), e C_s é a concentração de saturação (solubilidade) na interface sólido-líquido. A solubilidade em si não é necessária numericamente para (a), porque aparece em forma adimensional C/C_s.

Passo 2

Explicando o modelo físico e a equação de balanço (aula rápida):
  • Em regime permanente e fluxo plug (núcleo bem misturado no sentido transversal, sem dispersão axial significativa), para um pequeno elemento de coluna de comprimento dx o balanço de massa do soluto na fase líquida diz que o transporte convectivo menos o convectivo que sai é igual ao que foi transferido da superfície sólida para o líquido.
  • A velocidade superficial do líquido é U e o fluxo convectivo é U C. A taxa de transferência de massa por unidade de volume é dada pela expressão de resistência na película:
\text{fluxo por unidade de volume} = k\,a\,(C_s - C).
Aqui k é o coeficiente de transferência de massa (unidades \mathrm{cm/s}), a é a área interfacial específica ( \mathrm{cm^2/cm^3}), e C_s-C é a diferença de concentração driving force.
  • Portanto, o balanço diferencial (regime permanente) é:
U\,\frac{dC}{dx} = k\,a\,(C_s - C).

Passo 3

Resolver a equação diferencial (passo a passo):
A equação é linear de primeira ordem. Reescrevendo:
\frac{dC}{dx} + \frac{k a}{U}\,C = \frac{k a}{U}\,C_s.
Método do fator integrante: o fator integrante é e^{\frac{k a}{U}x}. Multiplicando ambos os lados:
\frac{d}{dx}\Big( e^{\frac{k a}{U}x} C \Big) = \frac{k a}{U}\,C_s\, e^{\frac{k a}{U}x}.
Integramos de 0 a x e usando C(0)=0:
e^{\frac{k a}{U}x} C(x) - C(0) = C_s\Big( e^{\frac{k a}{U}x} - 1\Big).
Como C(0)=0, isolamos C(x):
C(x) = C_s\Big(1 - e^{-\frac{k a}{U}x}\Big).
Portanto a fração de saturação em x é
\frac{C(x)}{C_s} = 1 - e^{-\frac{k a}{U}x}.
Em particular, na saída x=L:
\frac{C(L)}{C_s} = 1 - e^{-\frac{k a}{U}L}.

Passo 4

Determinar k usando a condição de saída \dfrac{C(L)}{C_s}=0,62.
Partimos de
0,62 = 1 - e^{-\frac{k a L}{U}}.
Então
e^{-\frac{k a L}{U}} = 1 - 0,62 = 0,38.
Tomando logaritmo natural,
-\frac{k a L}{U} = \ln(0,38).
Isolando k:
k = -\frac{U}{a L}\,\ln(0,38).
Agora substituímos os números (fazendo as contas passo a passo):
\frac{U}{a L} = \frac{5,0}{23\cdot 100} = \frac{5,0}{2300} = 0,002173913\\ \mathrm{(s^{-1})}.
\ln(0,38) \approx -0,967584.
Logo
k = -0,002173913 \times (-0,967584) \approx 0,002103.
Arredondando de forma consistente com dados ( 5,0 tem duas casas significativas), podemos dar
k \approx \(0,00210\\ \mathrm{cm/s}\).

Passo 5

Calcular a porcentagem de saturação no meio da coluna ( x=L/2).
Usamos a fórmula geral da fração de saturação:
\frac{C(x)}{C_s} = 1 - e^{-\frac{k a}{U}x}.
Como encontramos que e^{-\frac{k a}{U}L}=0,38, podemos escrever
e^{-\frac{k a}{U}x} = \Big(e^{-\frac{k a}{U}L}\Big)^{\frac{x}{L}} = 0,38^{\frac{x}{L}}.
Para x = L/2:
\frac{C(L/2)}{C_s} = 1 - 0,38^{1/2} = 1 - \sqrt{0,38}.
Calculando:
\sqrt{0,38} \approx 0,6155,
\frac{C(L/2)}{C_s} \approx 1 - 0,6155 = 0,3845.
Convertendo para porcentagem:
\frac{C(L/2)}{C_s} \approx 38,45\% \approx \(38,4\%\).

Resposta

(a) 0,00210\\ \mathrm{cm/s}
(b) 38,4\%

Exercícios relacionados