Óleo SAE 10W ( \mu=0,45 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa em regime permanente e laminar no canal formado por duas placas paralelas, horizontais e imóveis. A perda de pressão por unidade de comprimento é igual a 50 \mathrm{kPa} / \mathrm{m} e a distância entre as placas é 6 mm . Determine: (a) a vazão em volume por unidade de comprimento do canal, (b) o módulo da tensão de cisalhamento que atua na placa inferior do canal e (c) a velocidade do escoamento no plano central do canal.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o escoamento de um óleo entre duas placas paralelas imobilizadas e horizontais (escoamento permanente e laminar):
  • (a) a vazão volumétrica por unidade de comprimento do canal;
  • (b) o módulo da tensão de cisalhamento que atua sobre a placa inferior;
  • (c) a velocidade do escoamento no plano central do canal.
Informações fornecidas (vou escrever tudo em forma matemática para ficar claro):
\mu = 0{,}45\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
\text{perda de pressão por unidade de comprimento} = 50\\ \mathrm{kPa/m} = 50\,000\\ \mathrm{Pa/m},ã
\text{distância entre as placas} = 6\\ \mathrm{mm} = 0{,}006\\ \mathrm{m}.â
Observação sobre o sinal: o enunciado informa a perda de pressão por unidade de comprimento, isto é, a magnitude de -\dfrac{dp}{dx}. Para os cálculos abaixo vou tomar
-\dfrac{dp}{dx}=50\,000\\ \mathrm{Pa/m},
ou seja, usamos o valor positivo dessa declividade de pressão.

Passo 2

Vamos obter a lei de velocidades do escoamento (perfil em y) de forma didática.
  1. Modelo físico e simplificações: escoamento laminar, permanente e totalmente desenvolvido entre placas paralelas imobilizadas. Escolho um sistema de coordenadas com x ao longo do escoamento e y perpendicular às placas; as placas estão em y=0 (inferior) e y=h (superior), com h=0{,}006\\ \mathrm{m}. A velocidade tem apenas componente u(x,y) na direção x, e por desenvolvimento u depende só de y: u=u(y).
  2. Equação de balanço de momento (versão simplificada do Navier–Stokes para este caso): a única componente relevante reduz-se a
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}} = \frac{dp}{dx},
onde \mu é a viscosidade dinâmica, u(y) a velocidade em x e dp/dx a variação de pressão ao longo de x (constante aqui).
  1. Integração da equação diferencial duas vezes. Integro uma vez:
\frac{du}{dy} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}\,y + C_{1}.
Integro outra vez:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^{2} + C_{1}y + C_{2}.
  1. Condições de contorno (não deslizamento nas placas):
u(0)=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0,
u(h)=0 \quad\Rightarrow\quad 0 = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h^{2} + C_{1}h.
Dessa última tiramos C_{1} = -\dfrac{1}{2\mu}\dfrac{dp}{dx}\,h.
  1. Substituindo C_{1} e C_{2} obtemos o perfil de velocidades:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\left(y^{2} - hy\right).
Como \dfrac{dp}{dx} é negativo na direção do escoamento, é mais claro escrever com -dp/dx positivo:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)\,y(h-y).
Aqui cada símbolo significa:
  • \mu: viscosidade dinâmica (dada);
  • -dp/dx: declividade positiva da perda de pressão por unidade de comprimento (dada);
  • h: separação entre placas;
  • y: coordenada entre 0 e h;
  • u(y): velocidade em x no ponto y.

Passo 3

Agora calculamos a vazão volumétrica por unidade de comprimento (vazão por unidade de largura, chamada aqui q'). Definição:
q'=\int_{0}^{h} u(y)\,dy.
Substituindo o perfil:
q'=\int_{0}^{h} \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right) y(h-y)\,dy.
Resolvo a integral passo a passo. Expando o integrando:
y(h-y)=hy - y^{2}.
Então
q'=\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)\int_{0}^{h} (hy-y^{2})\,dy =\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)\left[\frac{h y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{h}.
Avalio em y=h:
\left[\frac{h h^{2}}{2}-\frac{h^{3}}{3}\right] = \left(\frac{h^{3}}{2}-\frac{h^{3}}{3}\right)=h^{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=h^{3}\cdot\frac{1}{6}.
Substituindo:
q'=\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)\cdot\frac{h^{3}}{6}=\frac{h^{3}}{12\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right).
Essa é a fórmula conhecida para vazão por unidade de largura entre placas paralelas.
Agora substituo números. Use h=0{,}006\\ \mathrm{m}, \mu=0{,}45\\ \mathrm{Pa\cdot s}, -dp/dx=50\,000\\ \mathrm{Pa/m}.
Calculo passo a passo:
h^{3}=(0{,}006)^{3}=2{,}16\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}},
12\mu = 12\cdot 0{,}45 = 5{,}4\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Portanto
\frac{h^{3}}{12\mu}=\frac{2{,}16\times10^{-7}}{5{,}4}=4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}\!/\!(Pa\cdot s)}.
Multiplicando por -dp/dx:
q' = 4{,}0\times10^{-8}\times 5{,}0\times10^{4}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Interpretação de unidades: \mathrm{m^{2}/s} é o mesmo que \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)}, ou seja, vazão volumétrica por unidade de largura (por unidade de comprimento no sentido perpendicular às placas).

Passo 4

Agora a tensão de cisalhamento (módulo) na placa inferior ( y=0). A tensão de cisalhamento é dada por
\tau_{xy}(y)=\mu\frac{du}{dy}.
Calculamos a derivada do perfil:
\frac{du}{dy}=\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)(h-2y).
Em y=0:
\tau_{w}=\tau_{xy}(0)=\frac{1}{2}\left(-\frac{dp}{dx}\right)h.
Note que a viscosidade \mu cancelou — interessante: a tensão na parede depende da declividade de pressão e da distância entre placas, não da viscosidade explícita.
Substituindo números:
\tau_{w}=\frac{1}{2}\times 50\,000\\ \mathrm{Pa/m}\times 0{,}006\\ \mathrm{m} = 25\,000\times 0{,}006 = 150\\ \mathrm{Pa}.
Então o módulo da tensão de cisalhamento na placa inferior é 150\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Finalmente, a velocidade no plano central ( y=h/2), que é o máximo do perfil. Usamos a expressão obtida para u(y):
u\left(\frac{h}{2}\right)=\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)\frac{h}{2}\left(h-\frac{h}{2}\right) =\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)\frac{h^{2}}{4} =\frac{1}{8\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)h^{2}.
Agora numérico: h^{2}=(0{,}006)^{2}=3{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}. Multiplico:
\left(-\frac{dp}{dx}\right)h^{2}=5{,}0\times10^{4}\times 3{,}6\times10^{-5}=1{,}8\\ \mathrm{(Pa\cdot m)}.
Dividindo por 8\mu com 8\mu=8\times0{,}45=3{,}6\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
u_{\max}=\frac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) q' = 0{,}002\\ \mathrm{m^{2}/s}
(b) |\tau_{\text{inferior}}| = 150\\ \mathrm{Pa}
(c) u_{\text{centro}} = 0{,}5\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados