Óleo SAE 10W (
) escoa em regime permanente e laminar no canal formado por duas placas paralelas, horizontais e imóveis. A perda de pressão por unidade de comprimento é igual a
e a distância entre as placas é 6 mm . Determine: (a) a vazão em volume por unidade de comprimento do canal, (b) o módulo da tensão de cisalhamento que atua na placa inferior do canal e (c) a velocidade do escoamento no plano central do canal.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o escoamento de um óleo entre duas placas paralelas imobilizadas e horizontais (escoamento permanente e laminar):
- (a) a vazão volumétrica por unidade de comprimento do canal;
- (b) o módulo da tensão de cisalhamento que atua sobre a placa inferior;
- (c) a velocidade do escoamento no plano central do canal.
Informações fornecidas (vou escrever tudo em forma matemática para ficar claro):
Observação sobre o sinal: o enunciado informa a perda de pressão por unidade de comprimento, isto é, a magnitude de
. Para os cálculos abaixo vou tomar
ou seja, usamos o valor positivo dessa declividade de pressão.
Passo 2
Vamos obter a lei de velocidades do escoamento (perfil em
) de forma didática.
-
Modelo físico e simplificações: escoamento laminar, permanente e totalmente desenvolvido entre placas paralelas imobilizadas. Escolho um sistema de coordenadas com
ao longo do escoamento e perpendicular às placas; as placas estão em (inferior) e (superior), com . A velocidade tem apenas componente na direção , e por desenvolvimento depende só de : . -
Equação de balanço de momento (versão simplificada do Navier–Stokes para este caso): a única componente relevante reduz-se a
onde
é a viscosidade dinâmica,
a velocidade em
e
a variação de pressão ao longo de
(constante aqui).
- Integração da equação diferencial duas vezes. Integro uma vez:
Integro outra vez:
- Condições de contorno (não deslizamento nas placas):
Dessa última tiramos
.
- Substituindo
e obtemos o perfil de velocidades:
Como
é negativo na direção do escoamento, é mais claro escrever com
positivo:
Aqui cada símbolo significa:
-
: viscosidade dinâmica (dada); -
: declividade positiva da perda de pressão por unidade de comprimento (dada); -
: separação entre placas; -
: coordenada entre 0 e ; -
: velocidade em no ponto .
Passo 3
Agora calculamos a vazão volumétrica por unidade de comprimento (vazão por unidade de largura, chamada aqui
). Definição:
Substituindo o perfil:
Resolvo a integral passo a passo. Expando o integrando:
Então
Avalio em
:
Substituindo:
Essa é a fórmula conhecida para vazão por unidade de largura entre placas paralelas.
Agora substituo números. Use
,
,
.
Calculo passo a passo:
Calculo passo a passo:
Portanto
Multiplicando por
:
Interpretação de unidades:
é o mesmo que
, ou seja, vazão volumétrica por unidade de largura (por unidade de comprimento no sentido perpendicular às placas).
Passo 4
Agora a tensão de cisalhamento (módulo) na placa inferior (
). A tensão de cisalhamento é dada por
Calculamos a derivada do perfil:
Em
:
Note que a viscosidade
cancelou — interessante: a tensão na parede depende da declividade de pressão e da distância entre placas, não da viscosidade explícita.
Substituindo números:
Então o módulo da tensão de cisalhamento na placa inferior é
.
Passo 5
Finalmente, a velocidade no plano central (
), que é o máximo do perfil. Usamos a expressão obtida para
:
Agora numérico:
. Multiplico:
Dividindo por
com
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)