Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
\sim \exists x(A x \wedge(B x \rightarrow \sim C x))

Passo 1

O enunciado dá a fórmula
\sim \exists x(A x \wedge(B x \rightarrow \sim C x))
e pede para substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Informações relevantes: a fórmula tem um quantificador existencial negado \sim \exists x e um predicado composto A x \wedge(B x \rightarrow \sim C x). A tarefa é reescrever a fórmula de modo equivalente, sem usar a negação sobre o quantificador existencial.

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a negação de um quantificador existencial passa a ser um quantificador universal com negação do predicado. Formalmente, vale a equivalência
\sim \exists x\,P(x)\equiv \forall x\,\sim P(x).
Explicação didática: afirmar que "não existe x tal que P(x)" é o mesmo que afirmar "para todo x, não P(x)". Exemplo rápido: “não existe número inteiro que seja simultaneamente par e ímpar” é o mesmo que “todo inteiro não é simultaneamente par e ímpar”.

Passo 3

Aplicando essa equivalência diretamente à fórmula dada, obtém-se
\forall x\,\sim\big(A x \wedge (B x \rightarrow \sim C x)\big).
Aqui já removemos a negação sobre \exists, transformando-a em \forall e mantendo a negação no predicado interno.

Passo 4

Agora usamos De Morgan para negações de conjunção. A lei é
\sim(P\wedge Q)\equiv (\sim P)\vee(\sim Q).
Explicação didática: dizer “não (P e Q)” significa “ou não P, ou não Q (ou ambos)”. Aplicando ao interior temos
\forall x\;\big(\sim A x \vee \sim(B x \rightarrow \sim C x)\big).

Passo 5

Precisamos eliminar a negação que incide sobre a implicação B x \rightarrow \sim C x. Lembramos que uma implicação se rewrites como disjunção:
P\rightarrow Q \equiv (\sim P)\vee Q.
Portanto
B x \rightarrow \sim C x \equiv \sim B x \vee \sim C x.
Agora negamos essa disjunção e aplicamos De Morgan novamente:
\sim(\sim B x \vee \sim C x)\equiv (\sim\sim B x)\wedge(\sim\sim C x).
Usamos também dupla negação: \sim\sim P\equiv P. Assim
\sim(B x \rightarrow \sim C x)\equiv B x \wedge C x.

Passo 6

Substituindo o resultado do Passo 5 em (Passo 4) obtemos
\forall x\;\big(\sim A x \vee (B x \wedge C x)\big).
Explicação didática: a fórmula final diz “para todo x, ou não A(x), ou ( B(x) e C(x) )”. Observação útil: pela equivalência P\rightarrow Q \equiv \sim P \vee Q, a disjunção \sim A x \vee (B x \wedge C x) pode ser reescrita como uma implicação:
\sim A x \vee (B x \wedge C x)\equiv A x \rightarrow (B x \wedge C x).
Isso dá uma forma alternativa, também válida e às vezes mais legível.

Resposta

\forall x\big(\sim A x \vee (B x \wedge C x)\big)
\forall x\big(A x \rightarrow (B x \wedge C x)\big)

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