Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula
e pede para substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Informações relevantes: a fórmula tem um quantificador existencial negado e um predicado composto
. A tarefa é reescrever a fórmula de modo equivalente, sem usar a negação sobre o quantificador existencial.
e pede para substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Informações relevantes: a fórmula tem um quantificador existencial negado
Passo 2
Regra básica que vamos usar primeiro: a negação de um quantificador existencial passa a ser um quantificador universal com negação do predicado. Formalmente, vale a equivalência
Explicação didática: afirmar que "não existe
tal que
" é o mesmo que afirmar "para todo
, não
". Exemplo rápido: “não existe número inteiro que seja simultaneamente par e ímpar” é o mesmo que “todo inteiro não é simultaneamente par e ímpar”.
Passo 3
Aplicando essa equivalência diretamente à fórmula dada, obtém-se
Aqui já removemos a negação sobre
, transformando-a em
e mantendo a negação no predicado interno.
Passo 4
Agora usamos De Morgan para negações de conjunção. A lei é
Explicação didática: dizer “não (P e Q)” significa “ou não P, ou não Q (ou ambos)”. Aplicando ao interior temos
Passo 5
Precisamos eliminar a negação que incide sobre a implicação
. Lembramos que uma implicação se rewrites como disjunção:
Portanto
Agora negamos essa disjunção e aplicamos De Morgan novamente:
Usamos também dupla negação:
. Assim
Passo 6
Substituindo o resultado do Passo 5 em (Passo 4) obtemos
Explicação didática: a fórmula final diz “para todo
, ou não
, ou (
e
)”. Observação útil: pela equivalência
, a disjunção
pode ser reescrita como uma implicação:
Isso dá uma forma alternativa, também válida e às vezes mais legível.