O que a distância entre um estado estacionário do elétron e o núcleo do átomo representa no Modelo de Bohr?
Escolha uma opção:
a. o tipo de átomo.
b. o número de fótons presentes.
a fase do elétron.
d. a energia do elétron.
e. o número total de nêutrons que constitui o núcleo.
Passo 1
O enunciado pergunta: “O que a distância entre um estado estacionário do elétron e o núcleo do átomo representa no Modelo de Bohr?”
As opções dadas são:
As opções dadas são:
- a. o tipo de átomo.
- b. o número de fótons presentes.
- c. a fase do elétron.
- d. a energia do elétron.
- e. o número total de nêutrons que constitui o núcleo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é pedida a interpretação física, dentro do Modelo de Bohr, da distância entre o elétron e o núcleo quando o elétron está em um estado estacionário (ou “órbita estacionária”).
Passo 2
Vamos lembrar os postulados principais do Modelo de Bohr, de forma simples e direta (isso é a base para entender a relação distância ↔ energia):
- Postulado 1: O elétron move-se em órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação enquanto permanecer em uma dessas órbitas estáveis chamadas de estados estacionários.
- Postulado 2: A quantidade de momento angular do elétron é quantizada segundo a condição
onde
é a massa do elétron,
a velocidade na órbita,
o raio da órbita,
a constante de Planck reduzida, e
o número quântico principal (
).
- Postulado 3: As energias permitidas do elétron são discretas; quando o elétron muda de órbita, ele emite ou absorve um fóton com energia igual à diferença entre os níveis.
Expliquei esses postulados porque a relação entre distância e energia vem diretamente deles: as órbitas permitidas têm raios bem definidos (dependendo de
) e cada
tem uma energia associada.
Passo 3
Agora derivamos a fórmula do raio das órbitas no Modelo de Bohr (passo a passo, sem pular etapas essenciais). Começamos juntando a força centrípeta com a força eletrostática (lei de Coulomb) que mantém o elétron em órbita:
a força centrípeta é .
a força eletrostática (entre núcleo com carga e elétron
) é
, onde
. Igualando-as,
a força centrípeta é
a força eletrostática (entre núcleo com carga
Multiplicando ambos os lados por
,
Também temos a condição de quantização do momento angular
. Daqui isolamos
:
Substituímos
na equação de equilíbrio:
Simplificando:
Multiplicando por
e isolando
,
Definimos a constante chamada raio de Bohr
para o caso
e
:
Portanto, para um átomo com carga nuclear
,
Significado prático: cada número quântico
dá um raio permitido
. Assim, a “distância entre o elétron e o núcleo” em um estado estacionário é exatamente esse
.
Passo 4
Agora encontramos a energia do elétron em cada órbita (novamente passo a passo). A energia total é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
No caso do elétron em órbita sob força coulombiana, vale a relação clássica
. A energia potencial (coulombiana, tomada negativa para ligação) é
Logo a energia total fica
Substituímos
:
Como combinação de constantes essa expressão pode ser escrita de forma usual (para o hidrogênio
) como
para
. Mais genericamente, para carga
,
Passo 5
Relacionando diretamente distância e energia: usamos
e
. Se quisermos escrever
em função de
, isolamos
de
:
Substituindo em
,
Para o hidrogênio (
) isso simplifica para
Isso mostra claramente: quanto maior o raio
(ou seja, quanto mais longe do núcleo), menos negativa é a energia (nível de energia mais alto). Ou seja, a distância do estado estacionário ao núcleo indica em qual nível de energia o elétron está.
Passo 6
Interpretação física e eliminação das outras opções (de um jeito direto e amigável):
- a. “o tipo de átomo”: o tipo de átomo fica ligado a
(número atômico), não diretamente ao raio de uma órbita específica. A distância não representa o tipo de átomo. - b. “o número de fótons presentes”: o número de fótons é algo distinto; só aparece quando há transições entre níveis (emissão/absorção), não é o que a distância representa.
- c. “a fase do elétron”: fase é conceito de onda (mecânica quântica), não é o que o Modelo de Bohr (órbitas estacionárias) associa à distância.
- d. “a energia do elétron”: esta é a correta — cada distância/órbita está associada a um nível de energia bem definido
. - e. “o número total de nêutrons”: neutrons compõem o núcleo mas não estão relacionados com a distância do elétron nas órbitas de Bohr.
Sinta-se encorajado: a ideia chave para decorar é simples — no Modelo de Bohr, “órbita” ↔ “nível de energia”; a distância do elétron ao núcleo identifica o nível de energia
.
Resposta
d. a energia do elétron.