O que a distância entre um estado estacionário do elétron e o núcleo do átomo representa no Modelo de Bohr?

Escolha uma opção:

\bigcirc a. o tipo de átomo.
\bigcirc b. o número de fótons presentes.
\bigcirc a fase do elétron.
\bigcirc d. a energia do elétron.
\bigcirc e. o número total de nêutrons que constitui o núcleo.

Passo 1

O enunciado pergunta: “O que a distância entre um estado estacionário do elétron e o núcleo do átomo representa no Modelo de Bohr?”
As opções dadas são:
  • a. o tipo de átomo.
  • b. o número de fótons presentes.
  • c. a fase do elétron.
  • d. a energia do elétron.
  • e. o número total de nêutrons que constitui o núcleo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é pedida a interpretação física, dentro do Modelo de Bohr, da distância entre o elétron e o núcleo quando o elétron está em um estado estacionário (ou “órbita estacionária”).

Passo 2

Vamos lembrar os postulados principais do Modelo de Bohr, de forma simples e direta (isso é a base para entender a relação distância ↔ energia):
  • Postulado 1: O elétron move-se em órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação enquanto permanecer em uma dessas órbitas estáveis chamadas de estados estacionários.
  • Postulado 2: A quantidade de momento angular do elétron é quantizada segundo a condição
m_e v r = n\hbar,
onde m_e é a massa do elétron, v a velocidade na órbita, r o raio da órbita, \hbar a constante de Planck reduzida, e n o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
  • Postulado 3: As energias permitidas do elétron são discretas; quando o elétron muda de órbita, ele emite ou absorve um fóton com energia igual à diferença entre os níveis.
Expliquei esses postulados porque a relação entre distância e energia vem diretamente deles: as órbitas permitidas têm raios bem definidos (dependendo de n) e cada n tem uma energia associada.

Passo 3

Agora derivamos a fórmula do raio das órbitas no Modelo de Bohr (passo a passo, sem pular etapas essenciais). Começamos juntando a força centrípeta com a força eletrostática (lei de Coulomb) que mantém o elétron em órbita:
a força centrípeta é m_e v^2/r.
a força eletrostática (entre núcleo com carga +Ze e elétron -e) é k\frac{Ze^2}{r^2}, onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Igualando-as,
m_e \frac{v^2}{r} = k\frac{Z e^2}{r^2}.
Multiplicando ambos os lados por r,
m_e v^2 = k\frac{Z e^2}{r}.
Também temos a condição de quantização do momento angular m_e v r = n\hbar. Daqui isolamos v:
v = \frac{n\hbar}{m_e r}.
Substituímos v^2 na equação de equilíbrio:
m_e \left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2 = k\frac{Z e^2}{r}.
Simplificando:
\frac{n^2 \hbar^2}{m_e r^2} = k\frac{Z e^2}{r}.
Multiplicando por r^2 e isolando r,
r = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e k Z e^2}.
Definimos a constante chamada raio de Bohr a_0 para o caso Z=1 e n=1:
a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e k e^2}.
Portanto, para um átomo com carga nuclear Z,
\boxed{r_n = n^2 \frac{a_0}{Z}}.
Significado prático: cada número quântico n dá um raio permitido r_n. Assim, a “distância entre o elétron e o núcleo” em um estado estacionário é exatamente esse r_n.

Passo 4

Agora encontramos a energia do elétron em cada órbita (novamente passo a passo). A energia total é a soma da energia cinética K e da energia potencial U:
E = K + U.
No caso do elétron em órbita sob força coulombiana, vale a relação clássica K = -\dfrac{1}{2}U. A energia potencial (coulombiana, tomada negativa para ligação) é
U = -k\frac{Z e^2}{r}.
Logo a energia total fica
E = K + U = -\frac{1}{2}k\frac{Z e^2}{r}.
Substituímos r = r_n = n^2 a_0 / Z:
E_n = -\frac{1}{2}k\frac{Z e^2}{\dfrac{n^2 a_0}{Z}} = -\frac{1}{2}k\frac{Z^2 e^2}{n^2 a_0}.
Como combinação de constantes essa expressão pode ser escrita de forma usual (para o hidrogênio Z=1) como
\boxed{E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}}
para Z=1. Mais genericamente, para carga Z,
E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}\cdot Z^2}{n^2}.

Passo 5

Relacionando diretamente distância e energia: usamos r_n = n^2 a_0/Z e E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}\cdot Z^2}{n^2}. Se quisermos escrever E_n em função de r_n, isolamos n^2 de r_n:
n^2 = \frac{Z r_n}{a_0}.
Substituindo em E_n,
E_n = -13{,}6\\ \text{eV}\cdot \frac{Z^2}{n^2} = -13{,}6\\ \text{eV}\cdot \frac{Z^2}{\dfrac{Z r_n}{a_0}} = -13{,}6\\ \text{eV}\cdot \frac{Z a_0}{r_n}.
Para o hidrogênio ( Z=1) isso simplifica para
E_n = -13{,}6\\ \text{eV}\cdot \frac{a_0}{r_n}.
Isso mostra claramente: quanto maior o raio r_n (ou seja, quanto mais longe do núcleo), menos negativa é a energia (nível de energia mais alto). Ou seja, a distância do estado estacionário ao núcleo indica em qual nível de energia o elétron está.

Passo 6

Interpretação física e eliminação das outras opções (de um jeito direto e amigável):
  • a. “o tipo de átomo”: o tipo de átomo fica ligado a Z (número atômico), não diretamente ao raio de uma órbita específica. A distância não representa o tipo de átomo.
  • b. “o número de fótons presentes”: o número de fótons é algo distinto; só aparece quando há transições entre níveis (emissão/absorção), não é o que a distância representa.
  • c. “a fase do elétron”: fase é conceito de onda (mecânica quântica), não é o que o Modelo de Bohr (órbitas estacionárias) associa à distância.
  • d. “a energia do elétron”: esta é a correta — cada distância/órbita está associada a um nível de energia bem definido E_n.
  • e. “o número total de nêutrons”: neutrons compõem o núcleo mas não estão relacionados com a distância do elétron nas órbitas de Bohr.
Sinta-se encorajado: a ideia chave para decorar é simples — no Modelo de Bohr, “órbita” ↔ “nível de energia”; a distância do elétron ao núcleo identifica o nível de energia E_n.

Resposta

d. a energia do elétron.

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