- Uma estátua de ouro de 15 kg está sendo içada por um cabo ligado a um navio. Qual é a tensão no cabo de sustentação quando a estátua está em repouso:
a) completamente submersa?
b) fora da água?
Use a densidade do ouro como sendo
, da água do mar
do ar
.
a) completamente submersa?
b) fora da água?
Passo 1
O enunciado pede a tensão no cabo que sustenta uma estátua de ouro de massa
quando ela está em repouso nas duas situações:
a) completamente submersa na água do mar;
b) fora da água (no ar).
a) completamente submersa na água do mar;
b) fora da água (no ar).
Dados fornecidos:
.
.
.
.
Vou usar a aceleração gravitacional .
Vou usar a aceleração gravitacional
O que precisamos achar: a tensão
no cabo em cada situação.
Passo 2
Entendendo o que é a tensão: quando o corpo está em repouso, as forças verticais se equilibram. As forças relevantes são o peso para baixo e a força de empuxo (para cima) do fluido. A equação de equilíbrio vertical é
ou seja
Aqui:
é a tensão no cabo (resultado que queremos),
é o peso da estátua, e
é a força de empuxo (Archimedes).
Passo 3
Fórmula do peso: o peso é dado por
onde
é a massa e
a aceleração gravitacional. Vou calcular
com os valores dados:
Passo 4
Para calcular o empuxo precisamos do volume deslocado pela estátua. Pelo princípio da conservação de massa/definição de densidade:
Substituindo:
Calculando esse valor:
(Esse é o volume da estátua — é pequeno porque o ouro é muito denso.)
Passo 5
Fórmula do empuxo (Princípio de Arquimedes): a força de empuxo vale o peso do fluido deslocado:
onde
é a densidade do meio em que o objeto está imerso.
Agora aplicamos para o caso (a) — completamente submersa na água do mar, com
.
Calculemos o empuxo na água:
Para facilitar, podemos usar a forma exata com as frações:
Calculando numericamente obtemos
Então a tensão no cabo é
Passo 6
Agora o caso (b) — fora da água, ou seja, no ar. Aqui o fluido é o ar com
.
Empuxo devido ao ar:
Usando a forma com fração:
Calculando numericamente:
ou seja, praticamente desprezível frente ao peso.
Assim a tensão no cabo fora da água é
Passo 7
Resumo físico e observações finais: o empuxo reduz a tensão do cabo porque “alivia” parte do peso ao empurrar o objeto para cima com a força equivalente ao peso do fluido deslocado. Como a água tem densidade muito maior que o ar, o empuxo na água é muito maior que no ar, daí a diferença de tensão mais sensível no caso submerso. Os resultados acima usam
; se você usar
os valores mudam muito pouco.
Resposta
a)
b)
b)