• Uma estátua de ouro de 15 kg está sendo içada por um cabo ligado a um navio. Qual é a tensão no cabo de sustentação quando a estátua está em repouso:
    a) completamente submersa?
    b) fora da água?
Use a densidade do ouro como sendo 19,3 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, da água do mar 1,03 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{e} do ar 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a tensão no cabo que sustenta uma estátua de ouro de massa 15\\ \mathrm{kg} quando ela está em repouso nas duas situações:
a) completamente submersa na água do mar;
b) fora da água (no ar).
Dados fornecidos:
\;m=15\\ \mathrm{kg}.
\;\rho_{\text{ouro}}=19{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
\;\rho_{\text{água do mar}}=1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}á.
\;\rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Vou usar a aceleração gravitacional \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que precisamos achar: a tensão T no cabo em cada situação.

Passo 2

Entendendo o que é a tensão: quando o corpo está em repouso, as forças verticais se equilibram. As forças relevantes são o peso para baixo e a força de empuxo (para cima) do fluido. A equação de equilíbrio vertical é
T + F_{\text{empuxo}} - W = 0,
ou seja
T = W - F_{\text{empuxo}}.
Aqui:
T é a tensão no cabo (resultado que queremos),
W é o peso da estátua, e
F_{\text{empuxo}} é a força de empuxo (Archimedes).

Passo 3

Fórmula do peso: o peso é dado por
W = m g,
onde m é a massa e g a aceleração gravitacional. Vou calcular W com os valores dados:
W = 15\cdot 9{,}8 = 147\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Para calcular o empuxo precisamos do volume deslocado pela estátua. Pelo princípio da conservação de massa/definição de densidade:
\rho_{\text{ouro}} = \frac{m}{V}\quad\Rightarrow\quad V=\frac{m}{\rho_{\text{ouro}}}.
Substituindo:
V=\frac{15}{19{,}3\times10^{3}}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculando esse valor:
V \approx 7{,}77\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
(Esse é o volume da estátua — é pequeno porque o ouro é muito denso.)

Passo 5

Fórmula do empuxo (Princípio de Arquimedes): a força de empuxo vale o peso do fluido deslocado:
F_{\text{empuxo}} = \rho_{\text{fluido}}\,V\,g,
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do meio em que o objeto está imerso.
Agora aplicamos para o caso (a) — completamente submersa na água do mar, com \rho_{\text{fluido}}=\rho_{\text{água do mar}}=1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}á.
Calculemos o empuxo na água:
F_{\text{empuxo, água}} = 1{,}03\times10^{3}\cdot \left(7{,}77\times10^{-4}\right)\cdot 9{,}8.á
Para facilitar, podemos usar a forma exata com as frações:
F_{\text{empuxo, água}}=\frac{1{,}03\times10^{3}\cdot 15\cdot 9{,}8}{19{,}3\times10^{3}}.á
Calculando numericamente obtemos
F_{\text{empuxo, água}}\approx 7{,}85\\ \mathrm{N}.á
Então a tensão no cabo é
T_{\text{água}} = W - F_{\text{empuxo, água}} = 147 - 7{,}85 \approx 139{,}15\\ \mathrm{N}.áá

Passo 6

Agora o caso (b) — fora da água, ou seja, no ar. Aqui o fluido é o ar com \rho_{\text{fluido}}=\rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Empuxo devido ao ar:
F_{\text{empuxo, ar}} = 1{,}2\cdot \left(7{,}77\times10^{-4}\right)\cdot 9{,}8.
Usando a forma com fração:
F_{\text{empuxo, ar}}=\frac{1{,}2\cdot 15\cdot 9{,}8}{19{,}3\times10^{3}}.
Calculando numericamente:
F_{\text{empuxo, ar}}\approx 0{,}0091\\ \mathrm{N},
ou seja, praticamente desprezível frente ao peso.
Assim a tensão no cabo fora da água é
T_{\text{ar}} = W - F_{\text{empuxo, ar}} \approx 147 - 0{,}0091 \approx 146{,}99\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Resumo físico e observações finais: o empuxo reduz a tensão do cabo porque “alivia” parte do peso ao empurrar o objeto para cima com a força equivalente ao peso do fluido deslocado. Como a água tem densidade muito maior que o ar, o empuxo na água é muito maior que no ar, daí a diferença de tensão mais sensível no caso submerso. Os resultados acima usam g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}; se você usar g=9{,}81 os valores mudam muito pouco.

Resposta

a) T\approx 139{,}15\\ \mathrm{N}
b) T\approx 146{,}99\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados