Determine o deslocamento e a velocidade de uma partícula submetida a um movimento vertical em um determinado meio com uma força de retardo proporcional a velocidade (f=kmv).
Passo 1
O enunciado pede: determinar o deslocamento e a velocidade de uma partícula que se move verticalmente num meio que exerce uma força de retardo proporcional à velocidade, dada por \displaystyle f = k m v.
Informações relevantes que temos (vou explicitar parâmetros e condições iniciais que são necessárias para uma solução completa):
massa da partícula: \displaystyle m (constante positiva).
aceleração da gravidade: \displaystyle g (constante positiva; direção para baixo).
força de retardo (resistência do meio): \displaystyle f = k m v, com \displaystyle k>0 constante do meio.
condições iniciais (necessárias para fixar constantes de integração): velocidade inicial \displaystyle v(0)=v_{0} e posição inicial \displaystyle x(0)=x_{0}.
o que se deseja: obter \displaystyle v(t) e \displaystyle x(t) para \displaystyle t\ge 0.
Passo 2
Escolha de sinal e equação do movimento. Vou adotar a convenção simples: direção para baixo é positiva. Com isso:
a força peso, que aponta para baixo, vale \displaystyle m g (positiva nessa convenção).
a força de retardo é oposta ao movimento; se tomarmos sua forma dada como magnitude \displaystyle k m v, então o termo na equação das forças entra com sinal negativo quando \displaystyle v tem o mesmo sentido da gravidade. Portanto a soma das forças é \displaystyle m g - k m v.
Pela segunda lei de Newton temos:
m \frac{dv}{dt} = m g - k m v.
Passo 3
Simplifico a equação dividindo por \displaystyle m (não zero):
\frac{dv}{dt} = g - k v.
Comentário didático sobre o tipo de equação: esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear com coeficiente constante. Uma forma direta de resolvê-la é por separação de variáveis (ou usando fator integrante). Vou usar separação porque é direta aqui.
Passo 4
Resolver por separação de variáveis. Reescrevo a equação como
\frac{dv}{g - k v} = dt.
Vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo (lado esquerdo em v, lado direito em t):
\int \frac{dv}{g - k v} = \int dt.
Para a integral do lado esquerdo uso a substituição direta \displaystyle u = g - k v, \displaystyle du = -k\,dv, o que leva à fórmula conhecida
\int \frac{dv}{g - k v} = -\frac{1}{k}\ln\!\big|g - k v\big| + C.
Assim, integrando obtemos
-\frac{1}{k}\ln\!\big|g - k v\big| = t + C_1,
onde \displaystyle C_1 é constante de integração.
Passo 5
Isolando \displaystyle v. Multiplico por -k e exponencio:
\ln\!\big|g - k v\big| = -k t + C_2,
onde \displaystyle C_2 = -k C_1. Então
\big|g - k v\big| = e^{C_2} e^{-k t}.
Como \displaystyle g - k v terá sinal definido para os casos físicos que consideramos (podemos incorporar o sinal em uma constante), escrevo a solução geral sem o valor absoluto:
g - k v = C e^{-k t},
com \displaystyle C uma constante real. Isolando \displaystyle v:
v(t) = \frac{g}{k} - \frac{C}{k} e^{-k t}.
Passo 6
Determinar a constante \displaystyle C usando a condição inicial \displaystyle v(0)=v_{0}. Substituo t=0:
v_{0} = \frac{g}{k} - \frac{C}{k}.
Logo \displaystyle C = g - k v_{0}. Substituo em \displaystyle v(t) e organizo:
v(t) = \frac{g}{k} - \frac{g - k v_{0}}{k} e^{-k t}.
Comentário físico curto: \displaystyle v_{\text{terminal}}=\dfrac{g}{k} é a velocidade limite quando \displaystyle t\to\infty; a diferença inicial decai exponencialmente com constante de tempo \displaystyle 1/k.
Passo 7
Agora obtenho o deslocamento \displaystyle x(t) integrando \displaystyle v(t). Sabendo que \displaystyle v(t)=\dfrac{g}{k} + \bigl(v_{0}-\dfrac{g}{k}\bigr) e^{-k t}, integro termo a termo:
Essa é a expressão final para o deslocamento no tempo t.
Passo 9
Resumo interpretativo (rápido):
velocidade: parte de \displaystyle v_{0} e exponencialmente tende para a velocidade terminal \displaystyle g/k com constante de tempo \displaystyle 1/k.
posição: cresce com um termo linear dominado por \displaystyle (g/k)t mais um termo de correção exponencial que desaparece com o tempo.