Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio, qual é o comprimento de onda do fóton emitido quanto o elétron transita do nível 8 para 4 ?
Dados:
Nesta questāo, use como indicador de separaçāo dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
.
Além disso, nāo esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
Resposta:
Nesta questāo, use como indicador de separaçāo dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
Passo 1
O enunciado pede: qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron faz a transição do nível
para o nível
no átomo de hidrogênio, usando a expressão de Bohr.
Dados fornecidos que vamos usar: ,
,
,
.
Observação que farei: usarei também a constante eletrostática (constante de Coulomb) — este é um valor padrão conhecido e necessário para avaliar numericamente a expressão de Bohr.
Dados fornecidos que vamos usar:
Observação que farei: usarei também a constante eletrostática (constante de Coulomb)
Passo 2
Apresento a fórmula de Bohr para as energias dos níveis do hidrogênio e explico cada termo. A energia do nível
na fórmula de Bohr é
Aqui:
-
é a energia do nível atômico (em joules), -
é a massa do elétron ( ), -
é a constante de Coulomb ( ), -
é a carga elementar ( ), -
é a constante de Planck reduzida, (em ), -
é o número quântico principal (inteiro positivo).
Explicação curta do porquê: Bohr impõe quantização do momento angular (
) e equilibra força centrípeta com a força coulombiana; ao resolver essas relações chega-se nessa expressão para
.
Passo 3
Calculo
a partir de
.
Expliquei: usei
;
é a constante de Planck dividida por
.
Passo 4
Agora avalio a constante pré-fatorial
que tem dimensão de energia (joules). Vou calcular numericamente passo a passo com os valores dados e
.
Calculei
e
:
Multiplicando
:
Passo 5
Multiplico por
e divido por
:
Logo
Comentário: este
é a energia (em módulo) do nível fundamental
; em eletrón-volts isso corresponde a cerca de
, valor bem conhecido.
Passo 6
Escrevo as energias dos níveis
e
usando
:
Energia do fóton emitido quando o elétron vai de
para
é a diferença (energia inicial menos final):
Calculo a fração:
Portanto
Passo 7
Relação entre energia do fóton e comprimento de onda:
. Despejando
:
Substituo os valores (
,
,
):
Calculo o numerador:
Dividindo:
Passo 8
Converto para unidades mais usuais:
Como os dados foram dados com três algarismos significativos, apresento o comprimento de onda com três algarismos significativos.