Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio, qual é o comprimento de onda do fóton emitido quanto o elétron transita do nível 8 para 4 ?
Dados:
Nesta questāo, use como indicador de separaçāo dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, nāo esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
h=6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} . s
m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
e=1,6 \times 10^{-19} C
c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede: qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron faz a transição do nível 8 para o nível 4 no átomo de hidrogênio, usando a expressão de Bohr.
Dados fornecidos que vamos usar: h=6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, m_{e}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Observação que farei: usarei também a constante eletrostática (constante de Coulomb) k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9,0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} — este é um valor padrão conhecido e necessário para avaliar numericamente a expressão de Bohr.

Passo 2

Apresento a fórmula de Bohr para as energias dos níveis do hidrogênio e explico cada termo. A energia do nível n na fórmula de Bohr é
E_n = -\frac{m_e\,k^2 e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}.
Aqui:
  • E_n é a energia do nível atômico n (em joules),
  • m_e é a massa do elétron ( \mathrm{kg}),
  • k é a constante de Coulomb ( \mathrm{N\cdot m^2/C^2}),
  • e é a carga elementar ( \mathrm{C}),
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar=\dfrac{h}{2\pi} (em \mathrm{J\cdot s}),
  • n é o número quântico principal (inteiro positivo).
Explicação curta do porquê: Bohr impõe quantização do momento angular ( m_e v r = n\hbar) e equilibra força centrípeta com a força coulombiana; ao resolver essas relações chega-se nessa expressão para E_n.

Passo 3

Calculo \hbar a partir de h.
\hbar=\frac{h}{2\pi}=\frac{6,626\times10^{-34}}{2\cdot 3,1416}\\ \mathrm{J\cdot s}\approx 1,0546\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Expliquei: usei \pi\approx 3,1416; \hbar é a constante de Planck dividida por 2\pi.

Passo 4

Agora avalio a constante pré-fatorial
C=\frac{m_e\,k^2 e^4}{2\hbar^2},
que tem dimensão de energia (joules). Vou calcular numericamente passo a passo com os valores dados e k=9,0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Calculei k^2 e e^4:
k^2=(9,0\times10^{9})^2=8,1\times10^{19},
e^4=(1,6\times10^{-19})^4=6,5536\times10^{-76}.
Multiplicando k^2 e^4:
k^2 e^4 \approx 8,1\times10^{19}\times 6,5536\times10^{-76}=5,3084\times10^{-56}.

Passo 5

Multiplico por m_e e divido por 2\hbar^2:
m_e\,(k^2 e^4)\approx 9,11\times10^{-31}\times 5,3084\times10^{-56}=4,8353\times10^{-86}.
2\hbar^2 = 2\times(1,0546\times10^{-34})^2 \approx 2,2244\times10^{-68}.
Logo
C=\frac{4,8353\times10^{-86}}{2,2244\times10^{-68}}\approx 2,173\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Comentário: este C é a energia (em módulo) do nível fundamental n=1; em eletrón-volts isso corresponde a cerca de 13,58\\ \mathrm{eV}, valor bem conhecido.

Passo 6

Escrevo as energias dos níveis n=8 e n=4 usando E_n=-\dfrac{C}{n^2}:
E_8 = -\frac{C}{8^2} = -\frac{C}{64},
E_4 = -\frac{C}{4^2} = -\frac{C}{16}.
Energia do fóton emitido quando o elétron vai de 8 para 4 é a diferença (energia inicial menos final):
E_{\text{fóton}} = E_8 - E_4 = -\frac{C}{64} -\left(-\frac{C}{16}\right) = C\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{64}\right).ó
Calculo a fração:
\frac{1}{16}-\frac{1}{64}=\frac{4-1}{64}=\frac{3}{64}=0,046875.
Portanto
E_{\text{fóton}} = C\cdot\frac{3}{64}\approx 2,173\times10^{-18}\times 0,046875 \approx 1,0172\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 7

Relação entre energia do fóton e comprimento de onda: E_{\text{fóton}} = \dfrac{h c}{\lambda}ó. Despejando \lambda:
\lambda = \frac{h c}{E_{\text{fóton}}}.ó
Substituo os valores ( h=6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, E_{\text{fóton}}\approx 1,0172\times10^{-19}\\ \mathrm{J}ó):
\lambda \approx \frac{6,626\times10^{-34}\times 3,0\times10^{8}}{1,0172\times10^{-19}}\\ \mathrm{m}.
Calculo o numerador:
h c = 6,626\times10^{-34}\times 3,0\times10^{8}=1,9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Dividindo:
\lambda \approx \frac{1,9878\times10^{-25}}{1,0172\times10^{-19}}\approx 1,954\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Converto para unidades mais usuais: 1,954\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1,954\\ \mu\mathrm{m}=1954\\ \mathrm{nm}. Como os dados foram dados com três algarismos significativos, apresento o comprimento de onda com três algarismos significativos.

Resposta

1,95\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (ou 1954\\ \mathrm{nm})

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