1. Distância de frenagem
Um automóvel, inicialmente com uma velocidade v_{0}, é completamente parado após percorrer uma distância D sob a ação de uma força de atrito constante, cuja magnitude independe da velocidade. Se a velocidade inicial do automóvel for triplicada, mantendo-se a mesma força de atrito, qual será a nova distância necessária para pará-lo?
\sqrt{3} D
6 D
3 D
9 D
27 D

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que vem a seguir está exatamente no enunciado):
  • Um automóvel tem massa m (não dada numericamente) e partiu com velocidade inicial \,v_0.
  • O automóvel é parado completamente por uma força de atrito de magnitude constante F, que é independente da velocidade.
  • Com essa força de atrito, a distância de frenagem inicial é D.
  • Pergunta: se a velocidade inicial for triplicada (isto é, passar para 3v_0) e a força de atrito permanecer a mesma F, qual será a nova distância necessária para parar o automóvel?

Passo 2

Vamos usar o princípio do trabalho e energia, que é muito direto aqui. Primeiro a fórmula da energia cinética: a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\frac{1}{2}m v^{2},
onde K é a energia em joules, m é a massa em quilogramas e v é a velocidade em metros por segundo.
O trabalho realizado pela força de atrito constante F ao longo de uma distância s vale
W_{\text{atrito}} = -F s,
porque a força de atrito atua no sentido oposto ao deslocamento (o sinal negativo indica que a energia do carro é removida).
O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado sobre o carro é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{total}}=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.

Passo 3

Aplicando isso ao caso original (velocidade inicial v_0, o carro para então K_{\text{final}}=0, deslocamento D):
- F D = 0 - \frac{1}{2}m v_{0}^{2},
ou seja
F D = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}.
Isolando D,
D = \frac{m v_{0}^{2}}{2F}.
Aqui D é proporcional a v_{0}^{2}: se dobrar v_0 a D quadruplica, etc. Isso já é um ponto conceitual importante: velocidade entra ao quadrado na energia.

Passo 4

Agora triplicamos a velocidade inicial: v'_0 = 3 v_0. Repetindo o mesmo raciocínio, a nova distância D' satisfaz
F D' = \frac{1}{2} m (v'_0)^{2} = \frac{1}{2} m (3 v_{0})^{2} = \frac{1}{2} m \,9 v_{0}^{2}.
Logo
D' = \frac{m \,9 v_{0}^{2}}{2F} = 9\left(\frac{m v_{0}^{2}}{2F}\right).
Usando a expressão encontrada para D no Passo 3, obtemos
D' = 9 D.

Passo 5

(Uma observação rápida — método alternativo) Dá para obter o mesmo resultado usando cinemática com aceleração constante: a desaceleração produzida pela força F é a = -F/m (constante), e a equação v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s com v=0 leva a s=v_{0}^{2}/(2|a|)=m v_{0}^{2}/(2F), mesmo resultado e mesma dependência quadrática em v_0. Então a conclusão é consistente por duas maneiras diferentes.

Resposta

9D

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