1. Seja um longo fio reto que se situa ao longo do eixo x desde menos infinito até mais infinito conduzindo uma corrente I. Utilizando a lei de Biot-Savart, calcule o campo \overrightarrow{\mathrm{B}} em um ponto \vec{P}=\overrightarrow{r_{2}} no eixo y à uma distância a do fio. (18 pontos).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tirei estas informações diretamente do enunciado):
  • Um fio reto e muito longo situa-se ao longo do eixo x, estendendo-se de -\infty a +\infty.
  • Pelo fio passa uma corrente elétrica de intensidade I (sentido ao longo do eixo x; aqui assumimos o sentido positivo de x).
  • Pede-se o campo magnético \overrightarrow{B} em um ponto \overrightarrow{r_{2}} que está sobre o eixo y, a uma distância a do fio (ou seja, o ponto é (0,a,0) no sistema de coordenadas cartesianas).
O objetivo final é calcular \overrightarrow{B} nesse ponto, usando a lei de Biot–Savart.

Passo 2

Apresentar a lei de Biot–Savart e explicar cada símbolo (isto é obrigatório para sabermos o que vamos aplicar):
d\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\, I\,\frac{d\overrightarrow{\ell}\times\widehat{\overrightarrow{r}}}{r^{2}}
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}).
  • I é a corrente que percorre o fio.
  • d\overrightarrow{\ell} é um elemento infinitesimal de comprimento do fio, orientado na direção da corrente.
  • \overrightarrow{r} é o vetor que vai da posição da fonte (elemento d\overrightarrow{\ell}) até o ponto onde se calcula o campo.
  • r=|\overrightarrow{r}| é o módulo desse vetor.
  • \widehat{\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{r}/r é o versor que indica a direção de \overrightarrow{r}.
  • O produto vetorial d\overrightarrow{\ell}\times\widehat{\overrightarrow{r}} determina a direção do campo magnético gerado pelo elemento.
Uma forma equivalente, frequentemente mais prática para integração, é:
d\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\, I\,\frac{d\overrightarrow{\ell}\times\overrightarrow{R}}{R^{3}}
onde \overrightarrow{R} é o vetor fonte→campo e R=|\overrightarrow{R}|.

Passo 3

Escolher sistema de coordenadas e parametrizar o problema (isso facilita o cálculo):
  • Usei o sistema cartesiano padrão com vetores unitários \hat{i},\hat{j},\hat{k} para x,y,z.
  • Um ponto fonte do fio tem coordenada \overrightarrow{r'} = (x,0,0). Vou usar x como parâmetro para os elementos ao longo do fio, variando x de -\infty a +\infty.
  • O elemento de fio é d\overrightarrow{\ell}=dx\,\hat{i} (pois o fio está ao longo do eixo x e a corrente segue o sentido \hat{i}).
  • O ponto onde queremos o campo é \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}=(0,a,0) — peguei essa posição do enunciado.
  • Logo, o vetor que vai da fonte ao ponto é
\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r'}=(0,a,0)-(x,0,0)=(-x,\,a,\,0).
  • O módulo é
R=\sqrt{x^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial d\overrightarrow{\ell}\times\overrightarrow{R} (passo crucial, com explicação de como fazer):
  • Substituindo d\overrightarrow{\ell}=dx\,\hat{i} e \overrightarrow{R}=-x\,\hat{i}+a\,\hat{j},
d\overrightarrow{\ell}\times\overrightarrow{R}=dx\,\hat{i}\times(-x\,\hat{i}+a\,\hat{j}).
  • Propriedade útil: \hat{i}\times\hat{i}=0 e \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}. Assim o termo com -x\hat{i} some, sobrando
d\overrightarrow{\ell}\times\overrightarrow{R}=dx\cdot a\,(\hat{i}\times\hat{j})=a\,dx\,\hat{k}.
  • Obs.: isto mostra que cada elemento contribui em direção \hat{k} (ou seja, ao longo do eixo z). Isso já dá a direção do campo (antes mesmo de integrar): o campo será paralelo a \hat{k}.

Passo 5

Substituir no integrando da forma conveniente da Biot–Savart:
d\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\,\frac{d\overrightarrow{\ell}\times\overrightarrow{R}}{R^{3}} =\frac{\mu_0}{4\pi}I\,\frac{a\,dx\,\hat{k}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Assim o campo total é a integral ao longo do fio:
\overrightarrow{B}=\int_{-\infty}^{\infty} d\overrightarrow{B} =\frac{\mu_0 I a}{4\pi}\,\hat{k}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} (faço passo a passo, sem pular etapas):
  • Faço a substituição trigonométrica padrão x=a\tan\theta. Então dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Quando x\to -\infty tem \theta\to -\frac{\pi}{2}; quando x\to +\infty tem \theta\to +\frac{\pi}{2}.
  • O denominador fica
(x^{2}+a^{2})^{3/2}=\big(a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}\big)^{3/2}=\big(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{3/2}=a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.
  • Logo o integrando transforma-se em
\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}=\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}=\frac{d\theta}{a^{2}}\cos\theta.
  • Integrando entre -\frac{\pi}{2} e +\frac{\pi}{2}:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} =\frac{1}{a^{2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{a^{2}}\big[\sin\theta\big]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\frac{1}{a^{2}}(1-(-1))=\frac{2}{a^{2}}.

Passo 7

Substituir o resultado da integral na expressão para \overrightarrow{B} e simplificar:
\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0 I a}{4\pi}\,\hat{k}\cdot\frac{2}{a^{2}} =\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\,\hat{k}.
Portanto o módulo do campo é \dfrac{\mu_0 I}{2\pi a} e sua direção é \hat{k} (isto é, ao longo do eixo z).

Passo 8

Interpretar o sentido com a regra da mão direita (importante para lembrar na prova):
  • A direção \hat{k} encontrada algebraicamente corresponde ao sentido dado pela regra da mão direita: se a corrente está no sentido positivo de x, então o campo forma linhas circulares ao redor do eixo x; no ponto (0,a,0) (no eixo y positivo) o campo aponta na direção +z (vetor \hat{k}). Se a corrente estivesse no sentido -\hat{i}, o sinal do campo inverte.
Dica rápida para prova: para fio infinito o resultado habitual é \displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} com direção tangencial aos círculos ao redor do fio; aqui r=a é a distância perpendicular ao fio.

Resposta

\overrightarrow{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi a}\,\hat{k}

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