- Seja um longo fio reto que se situa ao longo do eixo
desde menos infinito até mais infinito conduzindo uma corrente I. Utilizando a lei de Biot-Savart, calcule o campo
em um ponto
no eixo y à uma distância a do fio. (18 pontos).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tirei estas informações diretamente do enunciado):
- Um fio reto e muito longo situa-se ao longo do eixo
, estendendo-se de a . - Pelo fio passa uma corrente elétrica de intensidade
(sentido ao longo do eixo ; aqui assumimos o sentido positivo de ). - Pede-se o campo magnético
em um ponto que está sobre o eixo , a uma distância do fio (ou seja, o ponto é no sistema de coordenadas cartesianas).
O objetivo final é calcular
nesse ponto, usando a lei de Biot–Savart.
Passo 2
Apresentar a lei de Biot–Savart e explicar cada símbolo (isto é obrigatório para sabermos o que vamos aplicar):
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente que percorre o fio. -
é um elemento infinitesimal de comprimento do fio, orientado na direção da corrente. -
é o vetor que vai da posição da fonte (elemento ) até o ponto onde se calcula o campo. -
é o módulo desse vetor. -
é o versor que indica a direção de . - O produto vetorial
determina a direção do campo magnético gerado pelo elemento.
Uma forma equivalente, frequentemente mais prática para integração, é:
onde
é o vetor fonte→campo e
.
Passo 3
Escolher sistema de coordenadas e parametrizar o problema (isso facilita o cálculo):
- Usei o sistema cartesiano padrão com vetores unitários
para . - Um ponto fonte do fio tem coordenada
. Vou usar como parâmetro para os elementos ao longo do fio, variando de a . - O elemento de fio é
(pois o fio está ao longo do eixo e a corrente segue o sentido ). - O ponto onde queremos o campo é
— peguei essa posição do enunciado. - Logo, o vetor que vai da fonte ao ponto é
- O módulo é
Passo 4
Calcular o produto vetorial
(passo crucial, com explicação de como fazer):
- Substituindo
e ,
- Propriedade útil:
e . Assim o termo com some, sobrando
- Obs.: isto mostra que cada elemento contribui em direção
(ou seja, ao longo do eixo ). Isso já dá a direção do campo (antes mesmo de integrar): o campo será paralelo a .
Passo 5
Substituir no integrando da forma conveniente da Biot–Savart:
Assim o campo total é a integral ao longo do fio:
Passo 6
Calcular a integral imprópria
(faço passo a passo, sem pular etapas):
- Faço a substituição trigonométrica padrão
. Então . - Quando
tem ; quando tem . - O denominador fica
- Logo o integrando transforma-se em
- Integrando entre
e :
Passo 7
Substituir o resultado da integral na expressão para
e simplificar:
Portanto o módulo do campo é
e sua direção é
(isto é, ao longo do eixo
).
Passo 8
Interpretar o sentido com a regra da mão direita (importante para lembrar na prova):
- A direção
encontrada algebraicamente corresponde ao sentido dado pela regra da mão direita: se a corrente está no sentido positivo de , então o campo forma linhas circulares ao redor do eixo ; no ponto (no eixo positivo) o campo aponta na direção (vetor ). Se a corrente estivesse no sentido , o sinal do campo inverte.
Dica rápida para prova: para fio infinito o resultado habitual é
com direção tangencial aos círculos ao redor do fio; aqui
é a distância perpendicular ao fio.