1. Obtenha a intensidade magnética produzida por um solenoide infinito com N/L espiras por comprimento e corrente I. (16 pontos)

Passo 1

O enunciado pede a intensidade magnética produzida por um solenoide infinito que tem N/L espiras por comprimento e que percorre corrente I.
Informações dadas e o que pedirão claramente:
  • Solenoide considerado infinito (ou muito longo), com densidade de espiras por comprimento \,n=\dfrac{N}{L}.
  • Cada espira carrega corrente I.
  • Pedir: a intensidade magnética produzida pelo solenoide (valor do campo magnético dentro/fora e sua direção).

Passo 2

Escolha do método e a lei que vamos usar (sem pressa, explicando cada coisa): vamos aplicar a Lei de Ampère, que é a ferramenta padrão para obter campos magnéticos em geometrias com simetria (como um solenoide longo). A Lei de Ampère diz, em vácuo,
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde:
  • \mathbf{B} é o vetor campo magnético (a “intensidade magnética” que queremos);
  • d\boldsymbol{\ell} é um elemento do trajeto fechado escolhido;
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A});
  • I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo contorno do integral.
    Explicação curta do porquê essa lei funciona: ela vem da lei de Ampère (uma das equações de Maxwell no caso estacionário) e relaciona a circulação do campo magnético ao fluxo de corrente atravessando o contorno; é muito útil quando o campo tem simetria e partes do caminho dão contribuição nula.

Passo 3

Escolha do caminho amperiano (o “truque”): para um solenoide infinito o campo é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo dentro do solenoide e praticamente nulo fora (essas são consequências da simetria e da continuidade das linhas de campo). Pegamos um retângulo como caminho fechado cujo lado longo de comprimento l fica paralelo ao eixo do solenoide e atravessa o interior do solenoide, e o lado oposto desse retângulo fica fora do solenoide, conforme a construção padrão. Denotemos:
  • lado interno paralelo ao eixo: comprimento l;
  • lado externo paralelo ao eixo (fora do solenoide): também comprimento l;
  • os dois lados transversais curtos que ligam os paralelos têm comprimento pequeno e contribuem desprezivelmente ou tem \mathbf{B} quase ortogonal.
    A ideia é: somar as contribuições das quatro arestas para \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}.

Passo 4

Avaliação qualitativa das contribuições ao integral de linha: pelo desenho e pela simetria:
  • no trecho dentro do solenoide o campo \mathbf{B} é praticamente uniforme e paralelo a d\boldsymbol{\ell}, então a contribuição é B\,l (onde B é o módulo do campo dentro);
  • no trecho fora do solenoide o campo é (para o solenoide infinito) praticamente zero, então a contribuição é 0;
  • nos trechos transversais curtos o comprimento é pequeno e/ou \mathbf{B} é aproximadamente ortogonal, logo sua contribuição é desprezível.
    Portanto
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}\approx B\,l.

Passo 5

Cálculo da corrente envolvida I_{\text{enc}}: ao atravessar o retângulo de comprimento l o número de espiras que ficam dentro desse comprimento é n\,l, onde definimos \,n=\dfrac{N}{L} (espiras por unidade de comprimento). Cada espira transporta corrente I, então a corrente total atravessando a superfície limitada pelo contorno é
I_{\text{enc}}=n\,l\,I.
Explicando devagar: imaginar cortar o solenoide por um disco cuja borda é o caminho amperiano; cada espira atravessa esse disco com corrente I; se existem n\,l espiras cortando o disco, a soma das correntes é n\,l\,I.

Passo 6

Aplicar a Lei de Ampère e resolver para B. Substituindo os resultados anteriores em
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
temos
B\,l=\mu_0 (n\,l\,I).
Cancelando l (que é arbitrário, desde que não seja zero),
B=\mu_0 n I.
Reescrevendo em termos de N e L:
B=\mu_0 \left(\dfrac{N}{L}\right) I.

Passo 7

Direção do campo e interpretação física: o vetor campo magnético \mathbf{B} fica orientado ao longo do eixo do solenoide. A orientação (sentido) é dada pela regra da mão direita aplicada à circulação da corrente nas espiras: se os dedos seguem a corrente nas espiras, o polegar indica o sentido de \mathbf{B} dentro do solenoide. Em notação vetorial, se \hat{z} for o versor ao longo do eixo do solenoide, então
\mathbf{B}=\mu_0 \left(\dfrac{N}{L}\right)I\,\hat{z},
com o sentido de \hat{z} determinado pela configuração das correntes.

Passo 8

Observações adicionais úteis para a prova (curtas e práticas):
  • Fora do solenoide idealmente infinito o campo é nulo ( \mathbf{B}\approx\mathbf{0}). Em um solenoide finito existe campo fora (franjas), mas para solenoide muito longo essa contribuição é desprezível.
  • Se o enunciado pede a intensidade do campo magnético no sentido de \mathbf{H} (campo magnético em amperes por metro), em vácuo existe a relação simples \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}. Assim
\mathbf{H}=n I\,\hat{z}=\left(\dfrac{N}{L}\right)I\,\hat{z}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}=\mu_0\left(\dfrac{N}{L}\right)I\,\hat{z}
\displaystyle \mathbf{H}=\left(\dfrac{N}{L}\right)I\,\hat{z}

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