- Obtenha a intensidade magnética produzida por um solenoide infinito com N/L espiras por comprimento e corrente I. (16 pontos)
Passo 1
O enunciado pede a intensidade magnética produzida por um solenoide infinito que tem
espiras por comprimento e que percorre corrente
.
Informações dadas e o que pedirão claramente:
Informações dadas e o que pedirão claramente:
- Solenoide considerado infinito (ou muito longo), com densidade de espiras por comprimento
. - Cada espira carrega corrente
. - Pedir: a intensidade magnética produzida pelo solenoide (valor do campo magnético dentro/fora e sua direção).
Passo 2
Escolha do método e a lei que vamos usar (sem pressa, explicando cada coisa): vamos aplicar a Lei de Ampère, que é a ferramenta padrão para obter campos magnéticos em geometrias com simetria (como um solenoide longo). A Lei de Ampère diz, em vácuo,
onde:
-
é o vetor campo magnético (a “intensidade magnética” que queremos); -
é um elemento do trajeto fechado escolhido; -
é a permeabilidade do vácuo ( ); -
é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo contorno do integral.
Explicação curta do porquê essa lei funciona: ela vem da lei de Ampère (uma das equações de Maxwell no caso estacionário) e relaciona a circulação do campo magnético ao fluxo de corrente atravessando o contorno; é muito útil quando o campo tem simetria e partes do caminho dão contribuição nula.
Passo 3
Escolha do caminho amperiano (o “truque”): para um solenoide infinito o campo é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo dentro do solenoide e praticamente nulo fora (essas são consequências da simetria e da continuidade das linhas de campo). Pegamos um retângulo como caminho fechado cujo lado longo de comprimento
fica paralelo ao eixo do solenoide e atravessa o interior do solenoide, e o lado oposto desse retângulo fica fora do solenoide, conforme a construção padrão. Denotemos:
- lado interno paralelo ao eixo: comprimento
; - lado externo paralelo ao eixo (fora do solenoide): também comprimento
; - os dois lados transversais curtos que ligam os paralelos têm comprimento pequeno e contribuem desprezivelmente ou tem
quase ortogonal.
A ideia é: somar as contribuições das quatro arestas para.
Passo 4
Avaliação qualitativa das contribuições ao integral de linha: pelo desenho e pela simetria:
- no trecho dentro do solenoide o campo
é praticamente uniforme e paralelo a , então a contribuição é (onde é o módulo do campo dentro); - no trecho fora do solenoide o campo é (para o solenoide infinito) praticamente zero, então a contribuição é
; - nos trechos transversais curtos o comprimento é pequeno e/ou
é aproximadamente ortogonal, logo sua contribuição é desprezível.
Portanto
Passo 5
Cálculo da corrente envolvida
: ao atravessar o retângulo de comprimento
o número de espiras que ficam dentro desse comprimento é
, onde definimos
(espiras por unidade de comprimento). Cada espira transporta corrente
, então a corrente total atravessando a superfície limitada pelo contorno é
Explicando devagar: imaginar cortar o solenoide por um disco cuja borda é o caminho amperiano; cada espira atravessa esse disco com corrente
; se existem
espiras cortando o disco, a soma das correntes é
.
Passo 6
Aplicar a Lei de Ampère e resolver para
. Substituindo os resultados anteriores em
temos
Cancelando
(que é arbitrário, desde que não seja zero),
Reescrevendo em termos de
e
:
Passo 7
Direção do campo e interpretação física: o vetor campo magnético
fica orientado ao longo do eixo do solenoide. A orientação (sentido) é dada pela regra da mão direita aplicada à circulação da corrente nas espiras: se os dedos seguem a corrente nas espiras, o polegar indica o sentido de
dentro do solenoide. Em notação vetorial, se
for o versor ao longo do eixo do solenoide, então
com o sentido de
determinado pela configuração das correntes.
Passo 8
Observações adicionais úteis para a prova (curtas e práticas):
- Fora do solenoide idealmente infinito o campo é nulo (
). Em um solenoide finito existe campo fora (franjas), mas para solenoide muito longo essa contribuição é desprezível. - Se o enunciado pede a intensidade do campo magnético no sentido de
(campo magnético em amperes por metro), em vácuo existe a relação simples . Assim