A que distância, ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,67 m de raio, o módulo do campo elétrico é igual à 1 / 3 do módulo do campo elétrico de um ponto bem próximo do centro do disco.
Dica: escreva o resultado em metros com duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado, onde o campo elétrico nesse ponto é igual a um terço do campo elétrico bem próximo ao centro do disco. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente do campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o campo elétrico no eixo de um disco carregado. A fórmula para o campo elétrico $ E $ em um ponto a uma distância $ x $ ao longo do eixo de um disco de raio $ R $ e densidade de carga superficial $ \sigma $ é:
E
onde $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o campo elétrico $ E_0 $ bem próximo ao centro do disco. Isso significa que $ x $ é muito pequeno, praticamente zero. Substituindo $ x = 0 $ na fórmula:
E0

Passo 4

De acordo com o enunciado, queremos que o campo elétrico em uma certa distância $ x $ seja igual a um terço desse valor $ E_0 $. Então, estabelecemos a seguinte igualdade:
x
Podemos simplificar os termos $ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $ de ambos os lados:
E0

Passo 5

Resolvendo a equação para $ x $:
x
Quadrando ambos os lados para eliminar a raiz:
xraizx^2 + R^2 = 1 - 13 = 23
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 + R^2 $:
x^2x^2 + R^2 = (23)^2 = 49
Multiplicando tudo por 9 para eliminar a fração:
x^2 + R^2
Subtraindo $ 4x^2 $ de ambos os lados:
x^2 = 49(x^2 + R^2)
Isolando $ x $:
9x^2 = 4x^2 + 4R^2

Passo 6

Agora, substituindo o valor do raio $ R = 0,67 $ m na equação:
R = 0,67

Resposta

A distância é aproximadamente 0,60 metros.

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