A que distância, ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,67 m de raio, o módulo do campo elétrico é igual à
do módulo do campo elétrico de um ponto bem próximo do centro do disco.
Dica: escreva o resultado em metros com duas casas decimais.
Dica: escreva o resultado em metros com duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado, onde o campo elétrico nesse ponto é igual a um terço do campo elétrico bem próximo ao centro do disco. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente do campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o campo elétrico no eixo de um disco carregado. A fórmula para o campo elétrico $ E $ em um ponto a uma distância $ x $ ao longo do eixo de um disco de raio $ R $ e densidade de carga superficial $ \sigma $ é:
onde $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o campo elétrico $ E_0 $ bem próximo ao centro do disco. Isso significa que $ x $ é muito pequeno, praticamente zero. Substituindo $ x = 0 $ na fórmula:
Passo 4
De acordo com o enunciado, queremos que o campo elétrico em uma certa distância $ x $ seja igual a um terço desse valor $ E_0 $. Então, estabelecemos a seguinte igualdade:
Podemos simplificar os termos $ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $ de ambos os lados:
Passo 5
Resolvendo a equação para $ x $:
Quadrando ambos os lados para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 + R^2 $:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar a fração:
Subtraindo $ 4x^2 $ de ambos os lados:
Isolando $ x $:
Passo 6
Agora, substituindo o valor do raio $ R = 0,67 $ m na equação:
Resposta
A distância é aproximadamente 0,60 metros.