(Distância Mínima entre Retas Reversas e Projeção) Considere as retas reversas r: X= (1,1,1)+\lambda(1,0,0) e s: Y=(0,0,1)+\mu(0,1,0).
(a) Calcule a distância d(r, s) entre as retas.
(b) Encontre o ponto P \in r e o ponto Q \in s que são os mais próximos entre si, ou seja, tais que d(P, Q)=d(r, s).
Passo 1
O enunciado dá duas retas por forma paramétrica e pede duas coisas: (a) a distância d(r,s) entre as retas e (b) os pontos P\in r e Q\in s que realizam essa distância mínima. Dados fornecidos:
Ou seja, um ponto genérico de r é \,(1+\lambda,\,1,\,1)\, e um ponto genérico de s é \,(0,\,\mu,\,1)\,. As perguntas são:
(a) calcular d(r,s);
(b) encontrar explicitamente P (um ponto na forma (1+\lambda,1,1)) e Q (um ponto na forma (0,\mu,1)) que minimizam a distância entre as retas.
Passo 2
Estratégia simples e direta: verificar se as retas se intersectam. Se houver interseção, a distância entre as retas é 0 e os pontos mais próximos são o ponto de interseção (o mesmo ponto pertence às duas retas). Para verificar interseção igualamos as coordenadas dos pontos genéricos e resolvemos para \lambda e \mu:
(1+\lambda,\,1,\,1)=(0,\,\mu,\,1).
Isto gera um sistema de três equações (uma para cada coordenada) em \lambda,\mu.
Passo 3
Resolver o sistema coordenada a coordenada:
Coordenada x: 1+\lambda=0\Rightarrow\lambda=-1.
Coordenada y: 1=\mu\Rightarrow\mu=1.
Coordenada z: 1=1 — já satisfeita automaticamente.
As duas primeiras equações têm solução consistente \lambda=-1 e \mu=1. Logo existe um ponto comum às retas: substituindo em qualquer uma obtemos o ponto
(1+\lambda,\,1,\,1)=(1-1,\,1,\,1)=(0,\,1,\,1).
Portanto as retas se intersectam no ponto (0,1,1).
Passo 4
Conclusão imediata a partir da interseção: se duas retas têm um ponto em comum, a menor distância entre elas é 0 (pois existe P=Q). Assim, d(r,s)=0. Isso responde a (a). Para consolidar a intuição geométrica: a distância entre conjuntos é o menor comprimento de um segmento que liga um ponto de um conjunto a um ponto do outro; se um ponto pertence a ambos, o comprimento mínimo é 0.
Passo 5
Vamos também confirmar usando a fórmula padrão (útil quando as retas são reversas/sem interseção). Seja A um ponto de r e B um ponto de s. Tome A=(1,1,1) (caso \lambda=0) e B=(0,0,1) (caso \mu=0). As direções das retas são
u=(1,0,0)\quad\text{(direção de \(r\))},\qquad v=(0,1,0)\quad\text{(direção de \(s\))}.
A fórmula da distância entre duas retas (quando são não-paralelas e possivelmente reversas) é
Aqui u\times v é um vetor perpendicular a ambas as direções (dá a direção normal ao plano gerado por u e v) e (B-A)\cdot(u\times v) mede a componente de B-A nessa direção normal; dividir pelo módulo de u\times v dá a projeção absoluta (distância mínima). Agora calculamos:
B-A=(0,0,1)-(1,1,1)=(-1,-1,0).
u\times v=(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).
(B-A)\cdot(u\times v)=(-1,-1,0)\cdot(0,0,1)=0.
Logo o numerador é 0, implicando d(r,s)=0, confirmando o resultado do passo anterior. Quando o produto escalar com u\times v é zero significa que o vetor que liga pontos escolhidos em r e s tem componente zero na direção normal — típico quando as retas se intersectam ou quando a componente normal se anula.
Passo 6
Identificar P em r e Q em s que realizam a distância mínima. Pelo passo 3 já encontramos os parâmetros que tornam os pontos iguais: \lambda=-1 em r dá
P=(1+\lambda,\,1,\,1)=(0,\,1,\,1).
E \mu=1 em s dá
Q=(0,\,\mu,\,1)=(0,\,1,\,1).
Portanto os pontos mais próximos são exatamente o ponto de interseção, ou seja P=Q=(0,1,1). No caso em que as retas não se intersectem, seguiríamos a condição geométrica de que o segmento PQ de menor comprimento é perpendicular a ambas as retas e resolveríamos o sistema que expressa essa perpendicularidade; aqui não foi necessário porque já há interseção.
Resposta
(a) d(r,s)=0
(b) P=Q=(0,1,1) (obtidos com \lambda=-1 em r e \mu=1 em s)