(Lugar Geométrico com Condição de Distância) Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos
no espaço que são equidistantes do plano
e do ponto
. Identifique a forma geométrica resultante (superfície).
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
que são equidistantes do plano
e do ponto
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Plano
com equação .\n - Ponto
.\n - Procurar todos os
tais que a distância de a é igual à distância de a .\n
A saída pedida: a equação do lugar geométrico (em coordenadas) e identificação da forma geométrica (que superfície é).
Passo 2
Escrevendo as fórmulas de distância que vamos usar (passo-a-passo e com explicação):
- Distância de um ponto
ao ponto é a distância euclidiana
Explicação: é a fórmula do comprimento do vetor
.
- Distância de
ao plano de forma é
No nosso caso
, então
Explicação: essa fórmula dá a componente do vetor posição ao longo da normal ao plano, normalizada.
Passo 3
Impondo a condição de igualdade das distâncias:
Como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar a solução:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a igualdade passo a passo:
Expansão do lado esquerdo:
Expansão do lado esquerdo:
Expansão do lado direito:
Agora subtraímos o lado direito do esquerdo e igualamos a zero:
Agrupando termos semelhantes obtemos
Passo 5
Conclusão algébrica: o lugar geométrico é dado implicitamente pela equação
Isso é uma superfície quadrática (equação de segundo grau em
). Agora vamos interpretar geometricamente qual o tipo de superfície.
Passo 6
Interpretação geométrica (método mais elucidativo): trabalho com a decomposição ortogonal em direção normal ao plano e na própria reta do plano.
- Normal unitária ao plano
é
-
Defina a coordenada assinada ao longo da normal por
. Então a distância ao plano é . -
Projeção de
sobre a normal (coordenada assinada de ) é
- Decomponha qualquer
como com pertencente ao plano (ou seja ). A projeção de no plano é . Calculando:
Passo 7
Agora escrevemos a condição de equidistância usando essa decomposição:
porque as componentes em direções ortogonais somam ao quadrado. A igualdade das distâncias (antes de quadrar) equivale, após quadrar, a
Simplificando:
Substituindo
:
Isto é uma relação do tipo "raio ao quadrado = constante linear em
". Reescrevendo para isolar
:
Passo 8
Interpretação final:
- A relação
diz que a coordenada ao longo da normal ( ) é uma constante mais um múltiplo do quadrado da distância radial no plano — isto é exatamente a equação de um paraboloide. - Como o lado direito depende apenas de
(a distância radial no plano), a superfície é um paraboloide de revolução (paraboloide circular) cujo eixo é a direção do vetor normal , i.e. paralelo ao vetor . - O vértice ocorre quando
, isto é na reta eixo; então . Assim o vértice é
Resposta
Paraboloide (paraboloide circular) de eixo paralelo a
e vértice em
.