(Lugar Geométrico com Condição de Distância) Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos X=(x, y, z) no espaço que são equidistantes do plano \pi: x+2 y+2 z=0 e do ponto P=(1,0,0). Identifique a forma geométrica resultante (superfície).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos X=(x,y,z) que são equidistantes do plano \pi:\;x+2y+2z=0 e do ponto P=(1,0,0).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Plano \pi com equação \;x+2y+2z=0.\n
  • Ponto P=(1,0,0).\n
  • Procurar todos os X=(x,y,z) tais que a distância de X a \pi é igual à distância de X a P.\n
    A saída pedida: a equação do lugar geométrico (em coordenadas x,y,z) e identificação da forma geométrica (que superfície é).

Passo 2

Escrevendo as fórmulas de distância que vamos usar (passo-a-passo e com explicação):
  • Distância de um ponto X=(x,y,z) ao ponto P=(1,0,0) é a distância euclidiana
\text{dist}(X,P)=\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}.
Explicação: é a fórmula do comprimento do vetor X-P.
  • Distância de X ao plano \pi de forma \;ax+by+cz+d=0 é
\text{dist}(X,\pi)=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
No nosso caso a=1,\;b=2,\;c=2,\;d=0, então
\text{dist}(X,\pi)=\frac{|x+2y+2z|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|x+2y+2z|}{3}.
Explicação: essa fórmula dá a componente do vetor posição ao longo da normal ao plano, normalizada.

Passo 3

Impondo a condição de igualdade das distâncias:
\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}=\frac{|x+2y+2z|}{3}.
Como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar a solução:
(x-1)^2+y^2+z^2=\frac{(x+2y+2z)^2}{9}.
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
9\bigl((x-1)^2+y^2+z^2\bigr)=(x+2y+2z)^2.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a igualdade passo a passo:
Expansão do lado esquerdo:
9\bigl((x-1)^2+y^2+z^2\bigr)=9(x^2-2x+1)+9y^2+9z^2=9x^2+9y^2+9z^2-18x+9.
Expansão do lado direito:
(x+2y+2z)^2=x^2+4y^2+4z^2+4xy+4xz+8yz.
Agora subtraímos o lado direito do esquerdo e igualamos a zero:
9x^2+9y^2+9z^2-18x+9 - \bigl(x^2+4y^2+4z^2+4xy+4xz+8yz\bigr)=0.
Agrupando termos semelhantes obtemos
8x^2+5y^2+5z^2-4xy-4xz-8yz-18x+9=0.

Passo 5

Conclusão algébrica: o lugar geométrico é dado implicitamente pela equação
8x^2+5y^2+5z^2-4xy-4xz-8yz-18x+9=0.
Isso é uma superfície quadrática (equação de segundo grau em x,y,z). Agora vamos interpretar geometricamente qual o tipo de superfície.

Passo 6

Interpretação geométrica (método mais elucidativo): trabalho com a decomposição ortogonal em direção normal ao plano e na própria reta do plano.
  • Normal unitária ao plano \pi é
\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}(1,2,2)=\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr).
  • Defina a coordenada assinada ao longo da normal por s=\hat{n}\cdot X=\dfrac{x+2y+2z}{3}. Então a distância ao plano é |s|.
  • Projeção de P sobre a normal (coordenada assinada de P) é
s_P=\hat{n}\cdot P=\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr)\cdot(1,0,0)=\tfrac{1}{3}.
  • Decomponha qualquer X como X=Q+s\hat{n} com Q pertencente ao plano \pi (ou seja \hat{n}\cdot Q=0). A projeção de P no plano é P_{\text{proj}}=P-s_P\hat{n}. Calculando:
P_{\text{proj}}=(1,0,0)-\tfrac{1}{3}\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr)=(\tfrac{8}{9},-\tfrac{2}{9},-\tfrac{2}{9}).

Passo 7

Agora escrevemos a condição de equidistância usando essa decomposição:
\text{dist}(X,P)^2=|(Q-P_{\text{proj}})+(s-s_P)\hat{n}|^2=|Q-P_{\text{proj}}|^2+(s-s_P)^2,
porque as componentes em direções ortogonais somam ao quadrado. A igualdade das distâncias (antes de quadrar) equivale, após quadrar, a
|Q-P_{\text{proj}}|^2+(s-s_P)^2=s^2.
Simplificando:
|Q-P_{\text{proj}}|^2 -2s s_P + s_P^2 =0.
Substituindo s_P=\tfrac{1}{3}:
|Q-P_{\text{proj}}|^2 = \frac{2}{3}s-\frac{1}{9}.
Isto é uma relação do tipo "raio ao quadrado = constante linear em s". Reescrevendo para isolar s:
s=\frac{3}{2}\,|Q-P_{\text{proj}}|^2+\frac{1}{6}.

Passo 8

Interpretação final:
  • A relação s=\dfrac{3}{2}|Q-P_{\text{proj}}|^2+\dfrac{1}{6} diz que a coordenada ao longo da normal ( s) é uma constante mais um múltiplo do quadrado da distância radial no plano — isto é exatamente a equação de um paraboloide.
  • Como o lado direito depende apenas de |Q-P_{\text{proj}}|^2 (a distância radial no plano), a superfície é um paraboloide de revolução (paraboloide circular) cujo eixo é a direção do vetor normal \hat{n}=\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr), i.e. paralelo ao vetor (1,2,2).
  • O vértice ocorre quando |Q-P_{\text{proj}}|=0, isto é na reta eixo; então s_{\text{vértice}}=\tfrac{1}{6}é. Assim o vértice V é
V=P_{\text{proj}}+s_{\text{vértice}}\hat{n}=\Bigl(\tfrac{8}{9},-\tfrac{2}{9},-\tfrac{2}{9}\Bigr)+\tfrac{1}{6}\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{17}{18},-\tfrac{1}{9},-\tfrac{1}{9}\Bigr).é

Resposta

8x^2+5y^2+5z^2-4xy-4xz-8yz-18x+9=0
Paraboloide (paraboloide circular) de eixo paralelo a \,(1,2,2)\, e vértice em \;\bigl(\tfrac{17}{18},-\tfrac{1}{9},-\tfrac{1}{9}\bigr).

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