(Reta que Satisfaz Múltiplas Condições de Distância) Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(1,0,0), é paralela ao plano \pi: x-y+z=10, e está a uma distância de \sqrt{2} da reta s: X=(0,0,0)+\lambda(1,1,0).
7. (Distância Mínima entre Retas Reversas e Projeção) Considere as retas reversas r: X= (1,1,1)+\lambda(1,0,0) e s: Y=(0,0,1)+\mu(0,1,0).
(a) Calcule a distância d(r, s) entre as retas.
(b) Encontre o ponto P \in r e o ponto Q \in s que são os mais próximos entre si, ou seja, tais que d(P, Q)=d(r, s).
Passo 1
Enunciado e dados (vou listar tudo explicitamente para não nos perder):\n
Problema 1: Determinar as equações paramétricas da reta r que satisfaz três condições: passa por A=(1,0,0), é paralela ao plano \pi: x-y+z=10, e está a uma distância \sqrt{2} da reta s\colon X=(0,0,0)+\lambda(1,1,0).\n
Problema 2 (item 7 do enunciado): Temos as retas\n r: X=(1,1,1)+\lambda(1,0,0)es: Y=(0,0,1)+\mu(0,1,0).Pedidos:\n (a) calcular a distância d(r,s) entre as retas; \n (b) encontrar os pontos P\in r e Q\in s que realizam essa distância mínima (ou seja, d(P,Q)=d(r,s)).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Para o Problema 1: ponto A=(1,0,0), plano \pi com normal \mathbf{n}=(1,-1,1), reta s tem ponto Q=(0,0,0) e vetor diretor \mathbf{u}=(1,1,0). A reta procurada r tem ponto P=A e vetor diretor \mathbf{v} desconhecido, mas com a condição de ser paralela ao plano \pi e ficar à distância \sqrt{2} da reta s.\n
Para o Problema 2: retas dadas explicitamente com vetores diretores \mathbf{v}=(1,0,0) e \mathbf{u}=(0,1,0) e pontos base P_0=(1,1,1) e Q_0=(0,0,1).\n
Passo 2
Conceito importante: condição “reta paralela a um plano”.\n
Se uma reta tem vetor diretor \mathbf{v} e um plano tem vetor normal \mathbf{n}, então a reta é paralela ao plano exatamente quando \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{n}. Em notação,\n\text{reta paralela ao plano} \iff \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0.
Aqui, \mathbf{n}=(1,-1,1). Portanto qualquer vetor diretor \mathbf{v}=(a,b,c) da reta r deve satisfazer
a-b+c=0.
Vou usar isso para parametrizar os possíveis vetores diretores de r.
Passo 3
Parametrização geral dos vetores diretores \mathbf{v} que satisfazem a-b+c=0.\n
Resolvo c = -a + b. Então um vetor diretor geral pode ser escrito como
\mathbf{v}=(a,b,-a+b).
Para simplificar, escrevo \mathbf{v} como combinação linear de duas direções-base:\n
\mathbf{v}=s(1,0,-1)+t(0,1,1),
onde s,t\in\mathbb{R} não ambos zero. Isso significa que o espaço dos vetores diretores é bidimensional (faz sentido: retas paralelas a um plano formam uma família com dois graus de liberdade).
Passo 4
Fórmula da distância entre duas retas (caso geral, possivelmente reversas). Expliquei a ferramenta que vou usar.\n
Se temos duas retas r: P+\lambda\mathbf{v} e s: Q+\mu\mathbf{u} com vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{u}, a distância mínima entre as retas (quando \mathbf{v} e \mathbf{u} não são paralelos) é dada por
Se \mathbf{v}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} (vetores diretores paralelos), então as retas são paralelas e a distância é a distância entre um ponto de uma e a outra reta, dada por
Essa fórmula vem da projeção do vetor que liga pontos das retas sobre a direção perpendicular comum \mathbf{v}\times\mathbf{u}. Vou aplicar essa fórmula ao Problema 1, com P=A=(1,0,0) e Q=(0,0,0).
Passo 5
Aplicando a fórmula (caso não paralelos) ao Problema 1 com a parametrização escolhida.\n
Tomo \mathbf{v}=(s,t,-s+t) (já escrito) e \mathbf{u}=(1,1,0). Vou calcular \mathbf{v}\times\mathbf{u}.\n
Cálculo do produto vetorial (faço passo a passo):
\mathbf{v}\times\mathbf{u}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] s & t & -s+t\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Ou seja, o produto vetorial é proporcional ao vetor normal \mathbf{n}=(1,-1,1) do plano — não é coincidência: ambos os vetores diretores estão no espaço paralelo ao plano, então seu produto dá algo ortogonal ao plano.]
Passo 6
Avalio a distância com a fórmula usando P=A=(1,0,0) e Q=(0,0,0).\n
Observe que o resultado é independente do par (s,t) desde que s\neq t. Ou seja: qualquer reta r que passe por A e seja paralela ao plano \pi e cuja direção não seja paralela a \mathbf{u}=(1,1,0) terá distância 1/\sqrt{3} da reta s.
Passo 7
Caso especial: \mathbf{v} paralelo a \mathbf{u} (ou seja s=t).\n
Se s=t então \mathbf{v} é um múltiplo de \mathbf{u}, logo \mathbf{v}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} e as retas são paralelas. Então usamos a fórmula para retas paralelas:\n
Aqui Q-P=(-1,0,0) (ou P-Q=(1,0,0); a magnitude do cross será a mesma). Calculo com P-Q=(1,0,0) e \mathbf{u}=(1,1,0):\n
(1,0,0)\times(1,1,0)=(0,0,1),
que tem norma 1. E \|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}. Portanto
d(r,s)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Conclusão: na família de retas r paralelas ao plano \pi e passando por A existem apenas duas possibilidades de distância em relação a s: \dfrac{1}{\sqrt{3}} (quando direções não paralelas) ou \dfrac{1}{\sqrt{2}} (quando direções paralelas). Não existe outro valor contínuo — e em particular não existe \sqrt{2}.
Passo 8
Conclusão do Problema 1 (existência ou não de reta com distância \sqrt{2}).\n
Como mostramos, qualquer reta r que passe por A e seja paralela ao plano \pi tem distância para s igual a \dfrac{1}{\sqrt{3}} ou \dfrac{1}{\sqrt{2}}, dependendo se seu vetor diretor é ou não paralelo a \mathbf{u}=(1,1,0). Nenhum desses valores é \sqrt{2}.\n
Logo, não existe reta r que satisfaça simultaneamente as três condições do enunciado. Portanto o conjunto de retas pedido é vazio.
Passo 9
Começo a resolver o Problema 2: lembrar os dados e a estratégia.\n
Vetores diretores: \mathbf{v}=(1,0,0) e \mathbf{u}=(0,1,0). Pontos base: P_0=(1,1,1) na reta r e Q_0=(0,0,1) na reta s.\n
Estratégia: verificar se as retas se intersectam — se intersectam, a distância é zero e o par de pontos mais próximos é o ponto de interseção.
Passo 10
Verifico interseção das retas: procuro \lambda e \mu tais que
(1+\lambda,\,1,\,1)=(0,\,\mu,\,1).
Igualando coordenadas: sistema
1+\lambda = 0,\qquad 1=\mu,\qquad 1=1.
Da segunda equação vem \mu=1. Da primeira vem \lambda=-1. A terceira é tautologia. Portanto existe solução e o ponto de interseção é
(1+\lambda,1,1)=(1-1,1,1)=(0,1,1).
Passo 11
Conclusões do Problema 2 com explicação didática.\n
Como as retas se intersectam no ponto (0,1,1), a distância entre elas é d(r,s)=0 (duh: retas que se cruzam têm distância zero). O par de pontos de r e s que realiza a distância mínima é simplesmente o ponto de interseção comum; podemos tomar\nP\in r\text{ com }\lambda=-1\Rightarrow P=(0,1,1),
e
Q\in s\text{ com }\mu=1\Rightarrow Q=(0,1,1).
Isso satisfaz d(P,Q)=0=d(r,s). Portanto a resposta do item (b) consiste em apontar esses valores de \lambda e \mu e os pontos resultantes.
Resposta
Não existe reta r que passe por A=(1,0,0), seja paralela ao plano \pi: x-y+z=10 e esteja à distância \sqrt{2} da reta s.\n d(r,s)=0.\n P=Q=(0,1,1).