V ou F:
( ) Se S_{1} e S_{2} são subespaços distintos e não triviais de \mathbb{R}^{3}, então S_{1} \cap S_{2}=\{\overrightarrow{0}\}.
( ) Se S_{1} e S_{2} são subespaços de \mathbb{R}^{n}, diferentes entre si, então S_{1} \cap S_{2} \neq S_{1}+S_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para julgar Verdadeiro ou Falso duas afirmações sobre subespaços vetoriais. As duas afirmações são:
  1. Se S_{1} e S_{2} são subespaços distintos e não triviais de \mathbb{R}^{3}, então S_{1} \cap S_{2}=\{\overrightarrow{0}\}.
  2. Se S_{1} e S_{2} são subespaços de \mathbb{R}^{n}, diferentes entre si, então S_{1} \cap S_{2} \neq S_{1}+S_{2}.
Informações dadas e condições importantes:
  • Em (1) estamos em \mathbb{R}^{3}.
  • “Não triviais” significa que cada subespaço não é apenas \{\overrightarrow{0}\}; ou seja, contém vetores não nulos.
  • “Distintos” / “diferentes entre si” significa S_{1}\neq S_{2}.
  • Lembretes úteis que vamos usar sem resolver ainda: a interseção S_{1}\cap S_{2} é o conjunto de vetores que estão em ambos; a soma S_{1}+S_{2} é o conjunto \{u+v \mid u\in S_{1}, v\in S_{2}\}.

Passo 2

Definições e propriedades básicas (explicadas com calma):
  • Subespaço: um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^{n} que contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Ex.: uma reta que passa pela origem ou um plano que passa pela origem são subespaços de \mathbb{R}^{3}.
  • Interseção: S_{1}\cap S_{2}=\{x \mid x\in S_{1}\text{ e }x\in S_{2}\}. Essa é sempre um subespaço também.
  • Soma: S_{1}+S_{2}=\{u+v \mid u\in S_{1}, v\in S_{2}\}. Esse também é um subespaço e é o menor subespaço que contém S_{1} e S_{2}.
  • Inclusões sempre verdadeiras: \;S_{1}\cap S_{2}\subseteq S_{1} e \;S_{1}\subseteq S_{1}+S_{2} (e análogas trocando índices). Em particular, S_{1}\cap S_{2}\subseteq S_{1}+S_{2}.
Vou usar essas ideias para analisar cada afirmativa.

Passo 3

Analisando a afirmação (1). Vou explicar por que ela é falsa através de um contraexemplo concreto — isso é suficiente para mostrar que a afirmação não vale em geral.
Construa dois planos diferentes em \mathbb{R}^{3} que passam pela origem (planos são subespaços não triviais). Por exemplo:
S_{1}=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\quad\text{(plano }xy\text{-)}
S_{2}=\{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}\quad\text{(plano }xz\text{-)}.
Esses são subespaços distintos e ambos não triviais. Vamos calcular a interseção: um vetor está em S_{1} se e só se sua terceira coordenada for 0; está em S_{2} se e só se sua segunda coordenada for 0. Logo,
S_{1}\cap S_{2}=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
que é a reta x-axis (ou seja, contém vetores não nulos). Portanto S_{1}\cap S_{2}\neq\{\overrightarrow{0}\}.
Conclusão do passo: existe um exemplo em \mathbb{R}^{3} com dois subespaços distintos e não triviais cuja interseção contém vetores não nulos. Assim a afirmação (1) é falsa.
Comentário didático rápido: a intuição errada por trás da afirmação seria pensar que “subespaços diferentes sempre se cruzam só no zero”, mas em \mathbb{R}^{3} dois planos distintos se cruzam numa reta (muitos vetores), e duas retas distintas que passam pela origem se cruzam apenas no zero — então o comportamento depende do tipo de subespaço.

Passo 4

Analisando a afirmação (2). Vou mostrar que é verdadeira para quaisquer subespaços S_{1},S_{2} de \mathbb{R}^{n} quando S_{1}\neq S_{2}.
Raciocínio por contradição simples com inclusões:
  • Como observado, \;S_{1}\cap S_{2}\subseteq S_{1}+S_{2} sempre vale.
  • Suponha, para obter contradição, que S_{1}\cap S_{2} = S_{1}+S_{2} embora S_{1}\neq S_{2}.
  • Mas S_{1}+S_{2} contém S_{1} (pois pegando v\in S_{1} temos v = v + 0\in S_{1}+S_{2}). Logo, se S_{1}+S_{2} = S_{1}\cap S_{2} então S_{1} \subseteq S_{1}\cap S_{2}.
  • A inclusão S_{1}\subseteq S_{1}\cap S_{2} implica que S_{1}\subseteq S_{2} (porque todo elemento de S_{1} está também em S_{2}). Do mesmo modo, pelo papel simétrico dos índices, S_{2}\subseteq S_{1}.
  • Assim S_{1}\subseteq S_{2} e S_{2}\subseteq S_{1} implicam S_{1}=S_{2}, contradizendo a hipótese de que são diferentes.
Portanto não é possível ter S_{1}\cap S_{2} = S_{1}+S_{2} quando S_{1}\neq S_{2}. Logo a afirmação (2) é verdadeira.
Comentário alternativo (com dimensão), para intuição: a fórmula de dimensão
\dim(S_{1}+S_{2})=\dim(S_{1})+\dim(S_{2})-\dim(S_{1}\cap S_{2})
mostra que \dim(S_{1}+S_{2})\ge \max(\dim S_{1},\dim S_{2}), enquanto \dim(S_{1}\cap S_{2})\le \min(\dim S_{1},\dim S_{2}). Se S_{1}\neq S_{2} normalmente as dimensões fazem com que soma e interseção tenham dimensões diferentes, de modo que não podem ser iguais como subespaços (a igualdade só ocorre quando S_{1}=S_{2}).

Passo 5

Resumo final do raciocínio em termos bem diretos:
  • Para (1) construímos explicitamente dois planos em \mathbb{R}^{3} com interseção não nula, portanto a afirmação é falsa.
  • Para (2) mostramos que igualdade entre S_{1}\cap S_{2} e S_{1}+S_{2} forçaria S_{1}=S_{2}, portanto se S_{1}\neq S_{2} a igualdade não pode ocorrer — a afirmação é verdadeira.

Resposta

F
V

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