V ou F:
( ) Se
e
são subespaços distintos e não triviais de
, então
.
( ) Se
e
são subespaços de
, diferentes entre si, então
.
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para julgar Verdadeiro ou Falso duas afirmações sobre subespaços vetoriais. As duas afirmações são:
-
Se
e são subespaços distintos e não triviais de , então . -
Se
e são subespaços de , diferentes entre si, então .
Informações dadas e condições importantes:
- Em (1) estamos em
. - “Não triviais” significa que cada subespaço não é apenas
; ou seja, contém vetores não nulos. - “Distintos” / “diferentes entre si” significa
. - Lembretes úteis que vamos usar sem resolver ainda: a interseção
é o conjunto de vetores que estão em ambos; a soma é o conjunto .
Passo 2
Definições e propriedades básicas (explicadas com calma):
- Subespaço: um conjunto
que contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Ex.: uma reta que passa pela origem ou um plano que passa pela origem são subespaços de . - Interseção:
. Essa é sempre um subespaço também. - Soma:
. Esse também é um subespaço e é o menor subespaço que contém e . - Inclusões sempre verdadeiras:
e (e análogas trocando índices). Em particular, .
Vou usar essas ideias para analisar cada afirmativa.
Passo 3
Analisando a afirmação (1). Vou explicar por que ela é falsa através de um contraexemplo concreto — isso é suficiente para mostrar que a afirmação não vale em geral.
Construa dois planos diferentes em
que passam pela origem (planos são subespaços não triviais). Por exemplo:
Esses são subespaços distintos e ambos não triviais. Vamos calcular a interseção: um vetor está em
se e só se sua terceira coordenada for
; está em
se e só se sua segunda coordenada for
. Logo,
que é a reta
-axis (ou seja, contém vetores não nulos). Portanto
.
Conclusão do passo: existe um exemplo em
com dois subespaços distintos e não triviais cuja interseção contém vetores não nulos. Assim a afirmação (1) é falsa.
Comentário didático rápido: a intuição errada por trás da afirmação seria pensar que “subespaços diferentes sempre se cruzam só no zero”, mas em
dois planos distintos se cruzam numa reta (muitos vetores), e duas retas distintas que passam pela origem se cruzam apenas no zero — então o comportamento depende do tipo de subespaço.
Passo 4
Analisando a afirmação (2). Vou mostrar que é verdadeira para quaisquer subespaços
de
quando
.
Raciocínio por contradição simples com inclusões:
- Como observado,
sempre vale. - Suponha, para obter contradição, que
embora . - Mas
contém (pois pegando temos ). Logo, se então . - A inclusão
implica que (porque todo elemento de está também em ). Do mesmo modo, pelo papel simétrico dos índices, . - Assim
e implicam , contradizendo a hipótese de que são diferentes.
Portanto não é possível ter
quando
. Logo a afirmação (2) é verdadeira.
Comentário alternativo (com dimensão), para intuição: a fórmula de dimensão
mostra que
, enquanto
. Se
normalmente as dimensões fazem com que soma e interseção tenham dimensões diferentes, de modo que não podem ser iguais como subespaços (a igualdade só ocorre quando
).
Passo 5
Resumo final do raciocínio em termos bem diretos:
- Para (1) construímos explicitamente dois planos em
com interseção não nula, portanto a afirmação é falsa. - Para (2) mostramos que igualdade entre
e forçaria , portanto se a igualdade não pode ocorrer — a afirmação é verdadeira.
Resposta
F
V
V