Calcule a distância entre os pontos dados:
(e) P(3,-3) e Q(-3,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre os dois pontos dados no plano cartesiano.
Dados fornecidos: P(3,-3) e Q(-3,3).
O que devemos encontrar: a distância entre P e Q, um único número real positivo.

Passo 2

A fórmula que usamos vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelos deslocamentos horizontal e vertical entre os pontos. Se temos dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a distância d entre eles é dada por
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Explicando as letras: \,x_1 e \,y_1 são as coordenadas do primeiro ponto; \,x_2 e \,y_2 são as do segundo. O termo (x_2-x_1) é a diferença horizontal (comprimento de um cateto) e (y_2-y_1) é a diferença vertical (outro cateto). A raiz quadrada dá a hipotenusa, que é a distância buscada.

Passo 3

Identifico as coordenadas dos pontos do enunciado e as coloco nos rótulos da fórmula:
x_1=3,\quad y_1=-3,\quad x_2=-3,\quad y_2=3.

Passo 4

Calculo as diferenças horizontal e vertical passo a passo:
x_2-x_1 = -3 - 3 = -6,
y_2-y_1 = 3 - (-3) = 3+3 = 6.
Observação: as diferenças podem ser negativas, mas ao elevar ao quadrado o sinal some, então só importa o valor absoluto dos deslocamentos.

Passo 5

Elevo as diferenças ao quadrado e somo:
(x_2-x_1)^2 = (-6)^2 = 36,
(y_2-y_1)^2 = 6^2 = 36,
(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 = 36+36 = 72.

Passo 6

Agora aplico a raiz quadrada:
d=\sqrt{72}.
Simplifico a raiz identificando um quadrado perfeito dentro de 72. Como 72=36\cdot 2 e \sqrt{36}=6, temos
\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}.

Passo 7

Interpretação rápida: geometricamente isso corresponde a um triângulo retângulo com catetos de comprimento 6 e 6 (diferença horizontal e vertical), cuja hipotenusa é \sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}. Em forma decimal aproximada, 6\sqrt{2}\approx 8,485, mas a forma exata é preferível em prova.

Passo 8

Dica para prova: para pontos com coordenadas simétricas como esses (troca de sinal), o deslocamento costuma ser igual em módulo; então você já pode notar de cara que os catetos valem 6 e usar Pitágoras direto para chegar em 6\sqrt{2}.

Resposta

6\sqrt{2}

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