Considere a seguinte função:
F(x)=\frac{1}{9} x^{5}-x^{3}
A derivada \mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x}) é:
A) x^{9}-x
B) 9 x^{8}+3 x^{2}
C) 8 x^{8}-6 x
D) x^{8}-3 x^{2}
E) 3 x^{8}+9 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\frac{1}{9}x^{5}-x^{3}
e pede para encontrar a derivada \mathrm{F}'(x). Também são apresentadas as alternativas:
\text{A)}\; x^{9}-x
\text{B)}\; 9x^{8}+3x^{2}
\text{C)}\; 8x^{8}-6x
\text{D)}\; x^{8}-3x^{2}
\text{E)}\; 3x^{8}+9x^{2}

Passo 2

Antes de derivar, vou te explicar a regra que vamos usar (passo-a-passo, como tu pediu). A regra básica é a regra do poder (power rule): se tens uma função g(x)=x^{n}, com n sendo um número real, a derivada é
g'(x)=n x^{n-1}.
O que isso significa: para derivar uma potência, tu traz o expoente para multiplicar e diminuis o expoente em 1. Exemplo simples: a derivada de x^{3} é 3x^{2} porque 3 vem para frente e o expoente fica 3-1=2.
Além disso, existe a regra do fator constante: se tens um fator constante c multiplicando uma função, h(x)=c\cdot u(x), então
h'(x)=c\cdot u'(x).
Ou seja, podes puxar constantes para fora da derivada.

Passo 3

Agora aplicamos essas regras ao primeiro termo de F(x):
\frac{1}{9}x^{5}.
Trata-se de uma constante \frac{1}{9} multiplicando x^{5}. Pela regra do fator constante e pela regra do poder:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{9}x^{5}\right)=\frac{1}{9}\cdot\frac{d}{dx}\!(x^{5})=\frac{1}{9}\cdot 5x^{4}.
Portanto esse termo dá
\frac{5}{9}x^{4}.

Passo 4

Agora o segundo termo, -x^{3}. Aplicando só a regra do poder:
\frac{d}{dx}\!(-x^{3}) = -\,\frac{d}{dx}\!(x^{3}) = -\,3x^{2}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (derivada é linear), obtemos
\mathrm{F}'(x)=\frac{5}{9}x^{4}-3x^{2}.

Passo 6

Para deixar a expressão mais “amigável” na hora da prova, dá pra fatorar x^{2}:
\mathrm{F}'(x)=x^{2}\!\left(\frac{5}{9}x^{2}-3\right).
Isso ajuda a ver zeros e comportamento em x=0, por exemplo.

Passo 7

Agora comparo com as alternativas dadas. A derivada que eu calculei é
\mathrm{F}'(x)=\frac{5}{9}x^{4}-3x^{2}.
Nenhuma das alternativas A–E coincide com essa expressão (todas as alternativas têm potências x^{8} ou x^{9} ou coeficientes inteiros diferentes). Portanto, com base na função fornecida, a derivada correta é a expressão acima e não há alternativa entre A–E que corresponda.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{9}x^{4}-3x^{2}

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