(Distância de um ponto a uma reta)
Considere a reta
dada por
Calcule a distância do ponto
à reta
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a distância do ponto
) à reta
dada por
Informações fornecidas que vamos usar:
- Um ponto que pertence à reta:
(peguei este ponto da equação da reta). - O vetor diretor da reta: ) (peguei este vetor da equação da reta).
- O ponto fora da reta cujo queremos a distância: ).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que ela funciona). Seja
) um ponto da reta e
) o vetor diretor. Defina o vetor
). A distância do ponto
) à reta é a altura do paralelogramo formado por
) e
) sobre a base de comprimento
. A área desse paralelogramo é
(módulo do produto vetorial), e área = base
altura, logo a altura (distância) é
Aqui:
-
) é o vetor que vai de
até . -
) é o produto vetorial em
. - ) denota o comprimento (norma euclidiana) de um vetor.
Passo 3
Calcular o vetor
):
Passo 4
Calcular o produto vetorial
). Usando a fórmula componente a componente, para
) e
) vale
Substituindo
) e
):
Portanto
Passo 5
Calcular o módulo de
:
Passo 6
Calcular a norma do vetor diretor
):
Passo 7
Aplicar a fórmula da distância:
Se quiser um valor aproximado para conferir na prova rápida:
.