(Distância de um ponto a uma reta)
Considere a reta r dada por
r:(x, y, z)=(1,0,2)+t(2,-1,1), \quad t \in \mathbb{R}
Calcule a distância do ponto
P=(3,1,0)
à reta r.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a distância do ponto \(P=(3,1,0)) à reta r dada por
r:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Um ponto que pertence à reta: A=(1,0,2) (peguei este ponto da equação da reta).
  • O vetor diretor da reta: \(v=(2,-1,1)) (peguei este vetor da equação da reta).
  • O ponto fora da reta cujo queremos a distância: \(P=(3,1,0)).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela funciona). Seja \(A) um ponto da reta e \(v) o vetor diretor. Defina o vetor \(AP = P-A). A distância do ponto \(P) à reta é a altura do paralelogramo formado por \(AP) e \(v) sobre a base de comprimento \|v\|. A área desse paralelogramo é \|AP\times v\| (módulo do produto vetorial), e área = base \times altura, logo a altura (distância) é
d=\frac{\|AP\times v\|}{\|v\|}.
Aqui:
  • \(AP) é o vetor que vai de A até P.
  • \(\times) é o produto vetorial em \mathbb{R}^3.
  • \(\|\cdot\|) denota o comprimento (norma euclidiana) de um vetor.

Passo 3

Calcular o vetor \(AP):
AP = P - A = (3,1,0)-(1,0,2) = (3-1,\;1-0,\;0-2) = (2,1,-2).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \(AP\times v). Usando a fórmula componente a componente, para \(AP=(a_1,a_2,a_3)) e \(v=(b_1,b_2,b_3)) vale
AP\times v = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
Substituindo \(AP=(2,1,-2)) e \(v=(2,-1,1)):
\begin{aligned} (AP\times v)_1 &= 1\cdot 1 - (-2)\cdot(-1) = 1 - 2 = -1,\\\ (AP\times v)_2 &= (-2)\cdot 2 - 2\cdot 1 = -4 - 2 = -6,\\\ (AP\times v)_3 &= 2\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -2 - 2 = -4. \end{aligned}
Portanto
AP\times v = (-1,-6,-4).

Passo 5

Calcular o módulo de AP\times v:
\|AP\times v\| = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}.

Passo 6

Calcular a norma do vetor diretor \(v):
\|v\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
d = \frac{\|AP\times v\|}{\|v\|} = \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{53}{6}}.
Se quiser um valor aproximado para conferir na prova rápida: \sqrt{\dfrac{53}{6}}\approx 2{,}97.

Resposta

\sqrt{\dfrac{53}{6}}

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