Se a distância entre as retas
L1=(a, 5)+t(3,4) ; t in R e L2=(4, b)+s(-3,-4) ; s in R, onde a, b in R^+ é de 4 unidades, e o ponto ( 5, b-a ) dista 6 unidades de L1, encontrar o valores de a e b.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a,b>0 de modo que
  1. a distância entre as retas
L1:;(a,5)+t(3,4), L2:;(4,b)+s(-3,-4)
seja 4,
2. e a distância do ponto P=(5,b-a) a L1 seja 6.
Vamos usar a fórmula da distância entre retas paralelas em R^2 e a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

As direções de L1 e L2 são d=(3,4) e (-3,-4)=-d, logo são paralelas. Seja
A=(a,5), B=(4,b), d=(3,4)
O vetor B-A=(4-a,;b-5). A distância entre retas paralelas é
l|detl([B-A,;d]r)r||d| =l|(4-a),4-(b-5),3r|raiz3^2+4^2 =l|4(4-a)-3(b-5)r|5
Como deve ser 4, obtemos
l|4(4-a)-3(b-5)r|=20 ;Longrightarrow; l|31-4a-3br|=20

Passo 3

Para a distância do ponto P=(5,b-a) à reta L1, usamos
l|detl([P-A,;d]r)r||d| =l|(5-a),4-(b-a-5),3r|5 overset!=6
Logo
l|4(5-a)-3(b-a-5)r|=30 ;Longrightarrow; l|35-a-3br|=30

Passo 4

Temos o sistema de valores absolutos
l|31-4a-3br|=20, l|35 - a -3br|=30
Isso gera quatro casos lineares:
  1. 31-4a-3b=20 e 35-a-3b=30,
  2. 31-4a-3b=20 e 35-a-3b=-30,
  3. 31-4a-3b=-20 e 35-a-3b=30,
  4. 31-4a-3b=-20 e 35-a-3b=-30.

Passo 5

Resolvendo cada caso:
  • Caso 1: 4a+3b=11, a+3b=5, subtraindo dá 3a=6Rightarrow a=2, e então 3b=3Rightarrow b=1. Ambos positivos.
  • Os outros casos levam a a ou b não positivos, logo são descartados.

Resposta

a=2,; b=1.

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