Duas partículas pontuais, cada uma de massa M, estão fixas no eixo y nas posições y=+a e y=-a. Determine a função da força gravitacional para um objeto de massa m que posso ser encontrado em qualquer ponto do eixo x.

Passo 1

Beleza, temos duas massas pontuais, cada uma de massa , fixas nos pontos e do eixo . Queremos achar a força gravitacional que elas exercem num corpo de massa que está em qualquer posição do eixo .
Conteúdo: lei da gravitação universal ( ), decomposição vetorial de forças e soma de componentes.

Passo 2

Primeiro, lembra da lei da gravitação de Newton: a magnitude da força entre duas massas F = G,M,mr^2, e separadas por uma distância é
e ela aponta sempre ao longo da reta que liga as massas (atração). Aqui vamos usar essa fórmula para cada massa e depois somar as contribuições vetoriais.

Passo 3

Calcule a distância r = raiz(x-0)^2 + (0mp a)^2 = raizx^2 + a^2 entre a massa em e cada massa em . Por pitágoras:

Passo 4

A força de cada massa Frm mag = G,M,m(raizx^2 + a^2)^2 = G,M,mx^2 + a^2 sobre Fx,rm uma = Frm mag,costheta = G,M,mx^2 + a^2,xraizx^2 + a^2 = G,M,m,x(x^2 + a^2)^3/2 tem magnitude
Fx,rm uma = -,G,M,m,x(x^2 + a^2)^3/2
Mas a gente precisa da componente em . Se você desenhar, o ângulo entre a linha de ação e o eixo satisfaz . Então a componente em de cada força é
Como a força é atrativa, se ela aponta para a origem, ou seja, tem sinal negativo:

Passo 5

Agora, há duas massas Fx = 2 times l(-,G,M,m,x(x^2 + a^2)^3/2r) = -,2,G,M,m,x(x^2 + a^2)^3/2 , uma em e outra em , e as duas dão exatamente essa mesma componente em . As componentes em se anulam (uma puxa pra cima, a outra pra baixo). Então a resultante em é só duas vezes:

Resposta

boxedvec F(x) ;=;-,2,G,M,m,xl(x^2 + a^2r)^3/2;hatimath

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