A distribuicalo de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada por:
T(x)=a+b x^2
na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a=100^circ C e b=?^circ C / m^2. Uma geração de calor uniforme, q=20.000 W / m^3, está presente na parede, cuja área è de 10 m^2, massa específica de 500 kg / m^3 e calor específico Cp=50 J /(kg cdot K).
Determine a taxa de transferencia de calor que entra na parede (x=0) e que deixa a parede (x=1 m).

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumo do enunciado e o que precisamos saber. Temos uma parede de 1 m de espessura, área A=10 m², onde a temperatura no instante considerado é
T(x)=a + b,x^2,
com d^2Tdx^2 ;=; -,qk, C e desconhecido. Dentro da parede há geração de calor uniforme W/m³. A densidade é kg/m³ e o calor específico é J/(kg·K).
O que a gente quer:
– A taxa de calor que entra em .
– A taxa de calor que sai em .
Para isso vamos usar:
  1. Lei de Fourier em 1D: .
  2. Equação de condução estacionária com geração interna:

Passo 2

Primeiro, calcula as derivadas de T(x)=a + b,x^2 Longrightarrow dTdx=2,b,x, d^2Tdx^2=2,b :

Passo 3

Em regime estacionário com geração a equação é
d^2Tdx^2=-qk ;Longrightarrow; 2,b=-qk ;Longrightarrow; b=-q2,k

Passo 4

Agora aplica a Lei de Fourier para a taxa de calor em função de dot Q(x)=-,k,A,dTdx =-,k,A,(2,b,x) :
dot Q(0)=-kA(2bcdot0)=0
– Em dot Q(1)=-kA(2bcdot1)=-2,k,A,b :
dot Q(1)=-2,k,A!(-q2k) = A,q
– Em :
Substituindo :
Como o comprimento é 1 m, isso equivale à geração total
.

Resposta

dot Q(0)=0;W, dot Q(1)=q,A,L =20,000;tfracWm^3 times10;m^2 times1;m =2,0times10^5;W

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