A possível existência de uma espessura ótima de isolamento para sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados ao aumento da espessura. Em particular, embora a resistência condutiva aumente com a adição de isolamento, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área da superfície externa. Assim, pode existir uma espessura de isolamento que minimize a perda de calor pela maximização da resistência total à transferência de calor. Resolva esta questão para o sistema a seguir.
a) Um tubo de parede fina de cobre de raio ri é usado para transportar um refrigerante de baixa temperatura e está a uma temperatura Ti que é menor que a temperatura do ar ambiente a Tinfty em volta do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação do isolamento no tubo?
b) Confirme o resultado do ítem (a) através dos cálculos da resistência total por unidade de comprimento para um tubo de diâmetro 10 mm testando as seguintes espessuras de isolamento: ( 0,2,5,10,20 e 40) mm. O isolamento é Lã de vidro ( K LÃ DE VIDRo= 0,055 W / m K ) e hAR=5 W / m^2 K

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um tubo fino de cobre (diâmetro de 10 mm, ou seja raio interno/outside de 5 mm) que está mais frio que o ar em volta e queremos aplicar uma camada de isolamento de lã de vidro (k = 0,055 W/m·K). A ideia é que, conforme a gente aumenta a espessura do isolamento, a resistência à condução cresce (bom) mas a área externa também cresce e aí a resistência à convecção cai (ruim). Com essas duas forças “brigando”, pode rolar uma espessura que dê a máxima resistência total (logo, mínima perda de calor).
Conteúdo: transferência de calor em regime permanente, resistência térmica em coordenadas cilíndricas (condução) e resistência por convecção.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da resistência de condução em cilindro: Rcond = ln(ro/ri)2pi k L
    - Fórmula da resistência de convecção na superfície cilíndrica:
    Rconv = 1h,(2pi ro L)
  • Derivar R_total = R_cond + R_conv e igualar a zero para achar o rasgo ótimo.
  • Numerar R_total por unidade de comprimento (L=1 m) para várias espessuras e conferir o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever direitinho as resistências:
  1. Condução pela lã de vidro (comprimento L=1 m): Rcond = lnl(ro/rir)2pi,k,L
    onde
    - Rconv = 1h,2pi,ro,L m (raio do tubo),
    - Rtot(ro) = ln(ro/ri)2pi k + 12pi h,ro com = espessura do isolamento.
    2) Convecção na face externa:
    com W/m²·K.
    Então a resistência total é

Passo 3

Pra achar o ótimo, a gente deriva 12pi k,1ro ;-; 12pi h,1ro^2 ;=;0 Longrightarrow 1k,ro=1h,ro^2 Longrightarrow ro=kh em relação a ro^ast = 0,0555 = 0,011 m e joga =0:
  1. t^ast = ro^ast - ri = 0,011 - 0,005 = 0,006 m = 6 mm

  2. Somando e igualando a zero:
Portanto o raio externo ótimo é . Como e ,
Logo a espessura ótima é
Resposta do item (a): sim, existe e vale cerca de 6 mm de lâ de vidro.

Passo 4

Agora vamos “confirmar” numerando para várias espessuras . Usei L=1 m:
Para cada :
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
Resultados:
t (mm) | (m) | (K/W) | (K/W) | (K/W)
0 | 0,005 | 0,000 | 6,366 | 6,366
2 | 0,007 | 0,974 | 4,547 | 5,521
5 | 0,010 | 2,005 | 3,182 | 5,187
10 | 0,015 | 3,180 | 2,122 | 5,302
20 | 0,025 | 4,657 | 1,274 | 5,931
40 | 0,045 | 6,357 | 0,707 | 7,064
Você vê que o mínimo de dá quase em mm (5,187 K/W), bem perto dos 6 mm que a fórmula indicou.

Resposta

(a) Sim, existe uma espessura ótima de isolamento, que é
t^ast = kh - ri approx 6 mm
(b) Computando para as espessuras dadas, o valor mínimo aparece em torno de 5–6 mm, confirmando o resultado teórico.

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