A distribuicalo de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada por:
T(x)=a+b x^2
na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a=100^circ C e b=?^circ C / m^2. Uma geração de calor uniforme, q=20.000 W / m^3, está presente na parede, cuja área è de 10 m^2, massa específica de 500 kg / m^3 e calor específico Cp=50 J /(kg cdot K).
Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo na posição x=0,5 m.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que a parede de 1 m de espessura tem geração interna de calor uniforme q=20.000 W/m^3, área A=10 m^2, densidade rho=500 kg/m^3 e calor específico Cp=50 J/(kgcdot K). Também contam que, num certo instante, o perfil de temperatura é
T(x)=a + b,x^2
com a=100^circ!C e b (valor desconhecido). A questão quer saber a taxa de variação temporal da temperatura partial Tpartial t na posição x=0,5,m.
O conteúdo aqui é balanço energético (1ª lei da termodinâmica) com geração interna de calor, e o que vamos usar é:
  • cálculo da massa total da parede;
  • geração total de calor por segundo;
  • equação de energia ;Qrm >=rada=m,Cp,dTdt; (assumindo que todo o calor vai aumentar a temperatura, ou seja, sem perdas).

Passo 2

Primeiro, a gente acha o volume da parede e a massa total:
  • Volume V = A cdot L = 10 m^2times1 m = 10 m^3.
  • Massa m = rho,V = 500 kg/m^3times10 m^3 = 5000 kg.

Passo 3

Agora, a geração interna de calor por segundo (potência total) é
Qrm >=n ;=; q times V ;=;20.000 Wm^3times10 m^3 ;=;200.000 W
Isso significa que entra 200 kW de calor por segundo na parede.

Passo 4

Pela 1ª lei (ou balanço de energia) sem trocas externas:
Qrm >=n ;=; m,Cp,dTdt
Reorganizando para achar dTdt:
dTdt =Qrm >=nm,Cp

Passo 5

Substituindo os números:
dTdt =200.000 W5000 kgtimes50 J/(kgcdot K) =200.000250.000 !K/s =0,8 K/s
Como a geração é uniforme e a gente está considerando que todo esse calor sobe a temperatura igualmente em toda a espessura, essa taxa vale pra qualquer x, inclusive em x=0,5,m.

Resposta

A taxa de variação da temperatura em x=0,5,m é 0,8 ^circ!C/s.

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