Um tubo com diâmetro externo
é mantido a uma temperatura uniforme e está recoberto por um tubo isolante
a fim de reduzir a perda de calor. O calor é dissipado pela superfície externa da cobertura, por convecção natural para o ar ambiente a temperatura constante com ho
. Determine a espessura crítica do isolamento.
Passo 1
Beleza, lá vai o enunciado em miúdos: temos um tubo metálico de diâmetro externo D = 2 cm (ou seja, raio externo inicial
) e queremos envolver esse tubo com uma camada de isolante (com condutividade térmica
) de modo a minimizar a perda de calor por convecção natural na superfície externa, onde o coeficiente de convecção é
.
Conteúdo: transferência de calor em coordenadas cilíndricas, resistências térmicas em série (condução + convecção) e cálculo de máximo (derivadas). Vamos precisar escrever a resistência total versus o raio externo do isolante, derivar e achar o ponto crítico onde a perda de calor é máxima (ou a resistência total mínima).
Conteúdo: transferência de calor em coordenadas cilíndricas, resistências térmicas em série (condução + convecção) e cálculo de máximo (derivadas). Vamos precisar escrever a resistência total versus o raio externo do isolante, derivar e achar o ponto crítico onde a perda de calor é máxima (ou a resistência total mínima).
Passo 2
Vamos modelar a perda de calor por unidade de comprimento
. A resistência térmica total é a soma da condução radial no isolante e da convecção na superfície externa:
Aqui
-
m é o raio do tubo metálico; -
é o raio externo após colocar o isolante; -
é a condutividade e o coeficiente de convecção.
Passo 3
A “espessura crítica” ocorre quando a perda de calor (ou seja,
) muda de comportamento, equivalendo a um ponto em que
está mínima ou, visto de outro jeito, onde a derivada de
em relação a
é zero. Então fazemos:
Passo 4
Vamos derivar cada termo:
-
-
Então
Multiplicando por
e reorganizando:
Passo 5
Bastou chegar à fórmula clássica do raio crítico em cilindros:
Substituindo
e
:
Mas a pergunta é a espessura crítica do isolante, ou seja,
Resposta
A espessura crítica do isolamento é