Um tubo com diâmetro externo D=2 cm é mantido a uma temperatura uniforme e está recoberto por um tubo isolante [k=0,18 W /(m ^circ C)] a fim de reduzir a perda de calor. O calor é dissipado pela superfície externa da cobertura, por convecção natural para o ar ambiente a temperatura constante com ho =12 W /(m^2 ^circ C). Determine a espessura crítica do isolamento.

Passo 1

Beleza, lá vai o enunciado em miúdos: temos um tubo metálico de diâmetro externo D = 2 cm (ou seja, raio externo inicial ) e queremos envolver esse tubo com uma camada de isolante (com condutividade térmica ) de modo a minimizar a perda de calor por convecção natural na superfície externa, onde o coeficiente de convecção é .
Conteúdo: transferência de calor em coordenadas cilíndricas, resistências térmicas em série (condução + convecção) e cálculo de máximo (derivadas). Vamos precisar escrever a resistência total versus o raio externo do isolante, derivar e achar o ponto crítico onde a perda de calor é máxima (ou a resistência total mínima).

Passo 2

Vamos modelar a perda de calor por unidade de comprimento Rrm tot(r2) = Rrm cond(r2)+Rrm conv(r2) = ln(r2/ri)2pi k L ;+;1h0,2pi r2 L . A resistência térmica total é a soma da condução radial no isolante e da convecção na superfície externa:
Aqui
  • m é o raio do tubo metálico;
  • é o raio externo após colocar o isolante;
  • é a condutividade e o coeficiente de convecção.

Passo 3

A “espessura crítica” ocorre quando a perda de calor (ou seja, dRrm totdr2 =ddr2l[ln(r2/ri)2pi k L+12pi L,h0,r2r]=0 ) muda de comportamento, equivalendo a um ponto em que está mínima ou, visto de outro jeito, onde a derivada de em relação a é zero. Então fazemos:

Passo 4

Vamos derivar cada termo:
  1. dRrm totdr2 =12pi k Lcdot1r2 ;+;12pi L h0cdotl(-1r2^2r) =0
  2. 1k,r2-1h0,r2^2=0 Longrightarrow 1k,r2=1h0,r2^2 Longrightarrow r2=kh0
    Então
Multiplicando por e reorganizando:

Passo 5

Bastou chegar à fórmula clássica do raio crítico em cilindros:
rrm cr=kh0
Substituindo rrm cr=0,1812=0,015;m=1,5;cm e de:
Mas a pergunta é a espessura crítica do isolante, ou seja,

Resposta

A espessura crítica do isolamento é

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