Uma distribuição de carga esfericamente simétrica com densidade volumétrica de carga rho=rho0 e^-r / a(0 <= r, sendo rho0 e a constantes e r a distância para o centro da distribuição esférica.
Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.
Sugestão: se você for usar a equação de Poisson para o cálculo do campo em coordenadas esféricas, E(r ; theta ; phi)=Er(r ; theta ; phi) r+Etheta(r ; theta ; phi) theta+Ephi(r ; theta ; phi) phi, utilize o divergente em coordenadas esféricas,
nabla cdot E=1r^2 partialpartial r(r^2 Er)+1r sin theta[partialpartial theta(sin theta Etheta)+partialpartial phi(Ephi)],
lembre da simetria do campo elétrico para uma distribuição eférica de cargas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma distribuição de carga esfericamente simétrica com densidade volumétrica de carga dada por rho = rho0 e^-r / a, onde $ \rho_{0} $ e $ a $ são constantes, e $ r $ é a distância do centro da distribuição. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço. Para isso, vamos usar a equação de Poisson em coordenadas esféricas, aproveitando a simetria esférica da distribuição de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em situações de simetria esférica, o campo elétrico ( E) aponta radialmente e depende apenas da distância $ r $ do centro. Ou seja, podemos simplificar a expressão do campo elétrico para:
r
Isso significa que os componentes angulares ( E(r) = Er(r) r e Etheta) são zero devido à simetria.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Poisson, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Em coordenadas esféricas e considerando nossa simplificação anterior, o divergente se torna:
nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 Er )
Então, substituindo na equação de Poisson:
1r^2 ddr ( r^2 Er ) = rho0 e^-r / avarepsilon0

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ r^{2} $ para simplificar:
r^2
Agora, integremos ambos os lados em relação a $ r $:
ddr ( r^2 Er ) = rho0 r^2 e^-r / avarepsilon0
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral r^2 e^-r / a dr
Usando integração por partes ou consultando uma tabela de integrais, sabemos que:
integral r^2 e^-r / a dr = -a r^2 e^-r / a - 2a^2 r e^-r / a - 2a^3 e^-r / a + K
Onde $ K $ é a constante de integração, que será absorvida na constante $ C $ anterior.
Substituindo de volta:
K
Para determinar a constante $ C $, consideramos que quando $ r $ tende ao infinito, o campo elétrico deve ir para zero. Isso implica que $ C = 0 $.

Passo 6

Agora, isolamos $ E_{r} $:
Er
Simplificando os sinais negativos:
Er = rho0varepsilon0 ( -a e^-r / a - 2a^2 e^-r / ar - 2a^3 e^-r / ar^2 )

Resposta

O campo elétrico em um ponto a uma distância $ r $ do centro da distribuição é dado por:
r

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