Uma distribuição de carga esfericamente simétrica com densidade volumétrica de carga
, sendo
e
constantes e
a distância para o centro da distribuição esférica.
Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.
Sugestão: se você for usar a equação de Poisson para o cálculo do campo em coordenadas esféricas,
, utilize o divergente em coordenadas esféricas,
lembre da simetria do campo elétrico para uma distribuição eférica de cargas.
Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.
Sugestão: se você for usar a equação de Poisson para o cálculo do campo em coordenadas esféricas,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma distribuição de carga esfericamente simétrica com densidade volumétrica de carga dada por
, onde $ \rho_{0} $ e $ a $ são constantes, e $ r $ é a distância do centro da distribuição. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço. Para isso, vamos usar a equação de Poisson em coordenadas esféricas, aproveitando a simetria esférica da distribuição de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em situações de simetria esférica, o campo elétrico (
) aponta radialmente e depende apenas da distância $ r $ do centro. Ou seja, podemos simplificar a expressão do campo elétrico para:
Isso significa que os componentes angulares (
e
) são zero devido à simetria.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de Poisson, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
Em coordenadas esféricas e considerando nossa simplificação anterior, o divergente se torna:
Então, substituindo na equação de Poisson:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ r^{2} $ para simplificar:
Agora, integremos ambos os lados em relação a $ r $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes ou consultando uma tabela de integrais, sabemos que:
Onde $ K $ é a constante de integração, que será absorvida na constante $ C $ anterior.
Substituindo de volta:
Para determinar a constante $ C $, consideramos que quando $ r $ tende ao infinito, o campo elétrico deve ir para zero. Isso implica que $ C = 0 $.
Passo 6
Agora, isolamos $ E_{r} $:
Simplificando os sinais negativos:
Resposta
O campo elétrico em um ponto a uma distância $ r $ do centro da distribuição é dado por: