Um paraquedista salta de uma altura
, na vertical, com velocidade inicial nula. Além do própio peso
(
, onde
é massa do paraquedista e
é a aceleração da gravidade),
ele sofre a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo
, onde
é o vetor velocidade e
é uma constante. Calcule:
(a) O vetor velocidade do paraquedista em função do tempo,
.
(b) A expressão geral de sua posição na direção vertical,
.
© O vetor aceleração do paraquedista em função do tempo,
.
(d) Os módulos de sua velocidade e aceleração depois de transcorrido um tempo muito longo após o salto
.
ele sofre a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo
(a) O vetor velocidade do paraquedista em função do tempo,
(b) A expressão geral de sua posição na direção vertical,
© O vetor aceleração do paraquedista em função do tempo,
(d) Os módulos de sua velocidade e aceleração depois de transcorrido um tempo muito longo após o salto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma resumida no que o exercício pede e no que a gente precisa saber.
Enunciado resumido: um paraquedista parte do repouso de uma altura , sofre a força peso
e uma resistência do ar
. A gente deve achar:
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) os módulos de e
quando
.
Enunciado resumido: um paraquedista parte do repouso de uma altura
(a)
(b)
©
(d) os módulos de
Conteúdo/matéria: Dinâmica com forças constantes e proporcionais à velocidade → equação diferencial de 1ª ordem.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar a 2ª lei de Newton:
. - Reconhecer que dá numa EDO linear:
. - Resolver a EDO (fator integrante ou método direto).
- Integrar
pra achar posição. - Calcular derivada pra achar aceleração e limites quando
.
Passo 2
(a) Resolver para
.
- Só tem componente vertical:
. - A EDO é
- Solução geral = solução homogênea + particular:
- Homogênea:
dá . - Particular: buscamos
constante
- Homogênea:
- Somando e impondo
: Então E assim
Passo 3
(b) A posição
.
- Sabendo que
, integramos: - Calcule a integral
com . - Logo
Passo 4
© A aceleração
.
-
. Como , - Assim
Passo 5
(d) Limites quando
.
- Para a velocidade:
O módulo é
- Para a aceleração:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)