Um paraquedista salta de uma altura h, na vertical, com velocidade inicial nula. Além do própio peso P ( =-m g y, onde m é massa do paraquedista e g é a aceleração da gravidade),
ele sofre a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo F=-beta v, onde v é o vetor velocidade e gamma é uma constante. Calcule:
(a) O vetor velocidade do paraquedista em função do tempo, v(t).
(b) A expressão geral de sua posição na direção vertical, y(t).
© O vetor aceleração do paraquedista em função do tempo, a(t).
(d) Os módulos de sua velocidade e aceleração depois de transcorrido um tempo muito longo após o salto (t infty).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o exercício pede e no que a gente precisa saber.
Enunciado resumido: um paraquedista parte do repouso de uma altura , sofre a força peso e uma resistência do ar . A gente deve achar:
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) os módulos de e quando .
Conteúdo/matéria: Dinâmica com forças constantes e proporcionais à velocidade → equação diferencial de 1ª ordem.
O que vamos precisar:
  1. Montar a 2ª lei de Newton:
    .
  2. Reconhecer que dá numa EDO linear:
    .
  3. Resolver a EDO (fator integrante ou método direto).
  4. Integrar pra achar posição.
  5. Calcular derivada pra achar aceleração e limites quando .

Passo 2

(a) Resolver para mdvydt=-mg-beta,vy Longrightarrow dvydt+betamvy=-g .
  1. Só tem componente vertical: vy(t) =-mgbeta +C,e^-(beta/m)t, 0=-mgbeta+C ;Rightarrow; C=+mgbeta .
  2. A EDO é vy(t) =-mgbetal(1-e^-(beta/m)tr)
  3. Solução geral = solução homogênea + particular:
    • Homogênea: boxed vec v(t) =-mgbetal(1-e^-betamtr)hat y .
    • Particular: buscamos constante
  4. Somando e impondo : Então E assim

Passo 3

(b) A posição y(t)-h=integral0^t vy(t'),dt' =-mgbetaintegral0^tl(1-e^-(beta/m)t'r)dt' .
  1. Sabendo que y(t) =h -mgbetal[t+mbetal(e^-(beta/m)t-1r)r] =h-mgbetat+m^2gbeta^2l(1-e^-betamtr) , integramos: boxed y(t)=h-mgbeta,t +m^2gbeta^2l(1-e^-betamtr)
  2. Calcule a integral com .
  3. Logo

Passo 4

© A aceleração ay(t)=dvydt =-mgbetacdotbetame^-(beta/m)t =-g,e^-betamt .
  1. boxed vec a(t)=-g,e^-betamt,hat y . Como ,
  2. Assim

Passo 5

(d) Limites quando vy(infty) =-mgbetal(1-e^-inftyr) =-mgbeta .
  1. Para a velocidade: ay(infty)=-g,e^-infty=0, |vec a(infty)|=0 O módulo é
  2. Para a aceleração:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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