Para a distribuição de carga \rho(r)=\rho_{0}\left(a^{2}-r^{2}\right), para r<a ; e \rho(r)=0, para r>a.
(a) Encontrar a carga total. Justifique a sua resposta.(b) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para \mathrm{r} \leq \mathrm{a} \mathrm{e} (c) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para \mathrm{r} \geq a. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a densidade volumétrica de carga em coordenadas esféricas radiais:
\rho(r)=\rho_{0}\bigl(a^{2}-r^{2}\bigr)\quad\text{para }0\le r<a,
\rho(r)=0\quad\text{para }r>a.
As perguntas são:
(a) Encontrar a carga total Q_{\text{tot}}. Justifique.
(b) Encontrar o módulo do campo elétrico E(r) e o potencial V(r) para r\le a.
(c) Encontrar o módulo do campo elétrico E(r) e o potencial V(r) para r\ge a.
Considerarei a constante elétrica do meio \epsilon_{0} e tomarei a referência do potencial como V(\infty)=0 (opção usual). Não inicio a resolução aqui; só listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia física e fórmula básica que usaremos (explicação didática): por simetria esférica o campo elétrico em qualquer raio r só pode ser radial e depende só de r. Para obter o campo usamos a Lei de Gauss no vácuo:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida dentro da esfera de raio r. Para uma esfera de raio r a superfície tem área 4\pi r^{2} e, por simetria, \mathbf{E} tem módulo E(r) constante sobre a superfície, logo a lei de Gauss fica:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_{0}}.
Também precisamos calcular Q_{\text{int}}(r) integrando a densidade de carga sobre os cascos esféricos. O elemento de volume em coordenadas esféricas (quando a densidade depende só de r) é
dV = 4\pi r^{2} dr,
ou seja, a carga num casquinho fino de raio r e espessura dr é dQ=\rho(r)\,dV=\rho(r)\,4\pi r^{2}dr. Vamos integrar isso para obter Q_{\text{int}}(r).

Passo 3

Cálculo do Q_{\text{int}}(r) para um raio genérico r\le a. Usamos
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} \rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Substituindo \rho(r')=\rho_{0}\bigl(a^{2}-{r'}^{2}\bigr) obtemos
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\bigl(a^{2}{r'}^{2}-{r'}^{4}\bigr)\,dr'.
Efetuando a integral passo a passo:
\int_{0}^{r} a^{2}{r'}^{2}\,dr' = a^{2}\frac{r^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{r} {r'}^{4}\,dr' = \frac{r^{5}}{5}.
Logo
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\rho_{0}\!\left(a^{2}\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{5}}{5}\right).

Passo 4

Carga total Q_{\text{tot}} (parte (a)). A carga total é a carga contida até r=a, porque para r>a a densidade é zero:
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(a)=4\pi\rho_{0}\!\left(a^{2}\frac{a^{3}}{3}-\frac{a^{5}}{5}\right).
Simplificando:
Q_{\text{tot}}=4\pi\rho_{0}a^{5}\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =4\pi\rho_{0}a^{5}\cdot\frac{2}{15} =\frac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}.
Justificativa curta: integramos a densidade sobre todo o volume onde \rho\neq0; o resultado é \dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}.

Passo 5

Campo elétrico para r\le a (parte (b), passo para E). Usamos a expressão obtida para Q_{\text{int}}(r) na Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_{0}} =\frac{4\pi\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\!\left(a^{2}\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{5}}{5}\right).
Cancelando 4\pi e dividindo por r^{2} obtemos o módulo do campo:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\!\left(\frac{a^{2}r}{3}-\frac{r^{3}}{5}\right) =\frac{\rho_{0}r}{\epsilon_{0}}\!\left(\frac{a^{2}}{3}-\frac{r^{2}}{5}\right), \qquad r\le a.
Interpretação: E(0)=0 (campo nulo no centro) e o campo cresce aproximadamente linearmente para pequenos r (com coeficiente \rho_{0}a^{2}/(3\epsilon_{0})) até um máximo antes de decrescer devido ao termo em r^{3}.

Passo 6

Potencial para r\ge a (pré-cálculo que facilita V interno): por simetria, para r\ge a toda a carga está dentro e o campo é igual ao de uma carga pontual Q_{\text{tot}} situada no centro. Assim, para r\ge a (parte (c) em E e V):
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q_{\text{tot}}}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}}{r^{2}} =\frac{2}{15\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}a^{5}}{r^{2}}, \qquad r\ge a.
Para o potencial com a condição V(\infty)=0 temos
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'
e, usando a forma do campo externo (como carga pontual),
V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q_{\text{tot}}}{r} =\frac{2}{15\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}a^{5}}{r}, \qquad r\ge a.
Isso resolve a parte externa.

Passo 7

Potencial para r\le a (continuação da parte (b)). Vamos construir V(r) para r\le a impondo continuidade em r=a e usando a integração do campo já obtido. Uma maneira clara é:
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' =-\int_{\infty}^{a} E_{\text{out}}(r')\,dr' - \int_{a}^{r} E_{\text{in}}(r')\,dr'.
O primeiro termo é simplesmente V(a) (já calculado):
V(a)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q_{\text{tot}}}{a}=\frac{2}{15\epsilon_{0}}\rho_{0}a^{4}.
O segundo termo (note que r\le a, então a integral de a até r é negativa da integral de r até a) dá
-\int_{a}^{r} E_{\text{in}}(r')\,dr'=\int_{r}^{a} E_{\text{in}}(r')\,dr'.
Substituímos E_{\text{in}}(r')=\dfrac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\!\left(\dfrac{a^{2}r'}{3}-\dfrac{{r'}^{3}}{5}\right) e integramos:
\int_{r}^{a} E_{\text{in}}(r')\,dr' =\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\int_{r}^{a}\left(\frac{a^{2}r'}{3}-\frac{{r'}^{3}}{5}\right)dr'.
Calcule as primitivas:
\int \frac{a^{2}r'}{3}\,dr'=\frac{a^{2}r'^{2}}{6},\qquad \int \frac{{r'}^{3}}{5}\,dr'=\frac{{r'}^{4}}{20}.
Avaliação de r até a
\int_{r}^{a} E_{\text{in}}(r')\,dr'=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\left(\frac{7a^{4}}{60}-\frac{a^{2}r^{2}}{6}+\frac{r^{4}}{20}\right).
Somando com V(a)=\dfrac{2}{15\epsilon_{0}}\rho_{0}a^{4} e combinando os termos em a^{4} obtemos (fazer soma de frações explicitamente):
\frac{2}{15}a^{4}+\frac{7}{60}a^{4}=\frac{8}{60}a^{4}+\frac{7}{60}a^{4}=\frac{15}{60}a^{4}=\frac{1}{4}a^{4}.
Portanto o potencial dentro fica
V(r)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\left(\frac{a^{4}}{4}-\frac{a^{2}r^{2}}{6}+\frac{r^{4}}{20}\right),\qquad r\le a.
Cheque rápido: em r=a isso dá V(a)=\dfrac{\rho_{0}a^{4}}{\epsilon_{0}}\cdot\dfrac{2}{15}, que coincide com a expressão externa em r=a, garantindo continuidade.

Passo 8

Resumo, verificação física e observações finais:
  • O campo é contínuo em r=a na componente radial? O campo pode ter descontinuidade se houvesse densidade superficial; aqui não há superfície de carga (densidade nula exatamente em r=a), então o campo radial externo e interno encaixam de acordo com as fórmulas (a derivação via Gauss garante consistência).
  • O potencial é finito em r=0: V(0)=\dfrac{\rho_{0}a^{4}}{4\epsilon_{0}}.
  • Se \rho_{0}>0 então Q_{\text{tot}}>0 e os campos apontam para fora; se \rho_{0}<0 o sinal inverte.

Resposta

(a) \displaystyle Q_{\text{tot}}=\frac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\!\left(\frac{a^{2}r}{3}-\frac{r^{3}}{5}\right),\quad r\le a.\n \displaystyle V(r)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\!\left(\frac{a^{4}}{4}-\frac{a^{2}r^{2}}{6}+\frac{r^{4}}{20}\right),\quad r\le a.
(c) \displaystyle E(r)=\frac{2}{15\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}a^{5}}{r^{2}},\quad r\ge a.\n \displaystyle V(r)=\frac{2}{15\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}a^{5}}{r},\quad r\ge a.

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