Para a distribuição de carga
, para
, para
.
(a) Encontrar a carga total. Justifique a sua resposta.(b) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
(c) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
a. Justifique a sua resposta.
(a) Encontrar a carga total. Justifique a sua resposta.(b) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga em coordenadas esféricas radiais:
As perguntas são:
(a) Encontrar a carga total . Justifique.
(b) Encontrar o módulo do campo elétrico e o potencial
para
.
(c) Encontrar o módulo do campo elétrico e o potencial
para
.
Considerarei a constante elétrica do meio e tomarei a referência do potencial como
(opção usual). Não inicio a resolução aqui; só listei os dados e o que é pedido.
(a) Encontrar a carga total
(b) Encontrar o módulo do campo elétrico
(c) Encontrar o módulo do campo elétrico
Considerarei a constante elétrica do meio
Passo 2
Estratégia física e fórmula básica que usaremos (explicação didática): por simetria esférica o campo elétrico em qualquer raio
só pode ser radial e depende só de
. Para obter o campo usamos a Lei de Gauss no vácuo:
onde
é a carga total contida dentro da esfera de raio
. Para uma esfera de raio
a superfície tem área
e, por simetria,
tem módulo
constante sobre a superfície, logo a lei de Gauss fica:
Também precisamos calcular
integrando a densidade de carga sobre os cascos esféricos. O elemento de volume em coordenadas esféricas (quando a densidade depende só de
) é
ou seja, a carga num casquinho fino de raio
e espessura
é
. Vamos integrar isso para obter
.
Passo 3
Cálculo do
para um raio genérico
. Usamos
Substituindo
obtemos
Efetuando a integral passo a passo:
Logo
Passo 4
Carga total
(parte (a)). A carga total é a carga contida até
, porque para
a densidade é zero:
Simplificando:
Justificativa curta: integramos a densidade sobre todo o volume onde
; o resultado é
.
Passo 5
Campo elétrico para
(parte (b), passo para
). Usamos a expressão obtida para
na Lei de Gauss:
Cancelando
e dividindo por
obtemos o módulo do campo:
Interpretação:
(campo nulo no centro) e o campo cresce aproximadamente linearmente para pequenos
(com coeficiente
) até um máximo antes de decrescer devido ao termo em
.
Passo 6
Potencial para
(pré-cálculo que facilita
interno): por simetria, para
toda a carga está dentro e o campo é igual ao de uma carga pontual
situada no centro. Assim, para
(parte (c) em
e
):
Para o potencial com a condição
temos
e, usando a forma do campo externo (como carga pontual),
Isso resolve a parte externa.
Passo 7
Potencial para
(continuação da parte (b)). Vamos construir
para
impondo continuidade em
e usando a integração do campo já obtido. Uma maneira clara é:
O primeiro termo é simplesmente
(já calculado):
O segundo termo (note que
, então a integral de
até
é negativa da integral de
até
) dá
Substituímos
e integramos:
Calcule as primitivas:
Avaliação de
até
dá
Somando com
e combinando os termos em
obtemos (fazer soma de frações explicitamente):
Portanto o potencial dentro fica
Cheque rápido: em
isso dá
, que coincide com a expressão externa em
, garantindo continuidade.
Passo 8
Resumo, verificação física e observações finais:
- O campo é contínuo em
na componente radial? O campo pode ter descontinuidade se houvesse densidade superficial; aqui não há superfície de carga (densidade nula exatamente em ), então o campo radial externo e interno encaixam de acordo com as fórmulas (a derivação via Gauss garante consistência). - O potencial é finito em
: . - Se
então e os campos apontam para fora; se o sinal inverte.
Resposta
(a)
(b)
\n
(c)
\n