Questão 4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
(2 p) Para uma dada substância, o potencial de Lennard-Jones pode ser escrito da forma
, onde
e
.
Determine a distância intermolecular “preferida” nesta substância.
Escolha uma opção:
(2 p) Para uma dada substância, o potencial de Lennard-Jones pode ser escrito da forma
Determine a distância intermolecular “preferida” nesta substância.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial de Lennard-Jones
com os parâmetros numéricos
A pergunta é: determinar a distância intermolecular “preferida” desta substância (isto é, o valor de
que torna o potencial mínimo).
Passo 2
Conceito importante (passo didático): a posição “preferida” corresponde ao mínimo do potencial
. Para encontrar um mínimo de uma função de uma variável usamos a condição necessária
Aqui
é a distância entre as moléculas (unidade
),
e
são constantes positivas dadas. Também é útil lembrar que a força entre partículas está relacionada ao potencial por
; força nula corresponde a ponto de equilíbrio. Para garantir que é um mínimo também podemos verificar a segunda derivada.
Passo 3
Calculemos a derivada de
. Como
temos, usando a regra de potência para derivadas,
Passo 4
Impondo a condição de equilíbrio
obtemos
Isolando termos e simplificando dividindo por
(que é não nulo para
):
Portanto
e então
Passo 5
Tomando a sexta raiz, obtemos a expressão explícita do
de equilíbrio:
Observação sobre unidades:
tem unidade
e
tem unidade
, logo
tem unidade
e a sexta raiz tem unidade
, como esperado.
Passo 6
Agora fazemos o cálculo numérico passo a passo. Primeiro calcule
:
Agora a razão
Reescrevendo os fatores de potência de 10:
Calculando o quociente:
logo
Passo 7
Agora precisamos da sexta raiz de
. Usamos logaritmos para calcular a raiz:
Dividindo por
:
Voltando da base 10:
Passo 8
Verificação (didática): podemos checar que este ponto é realmente um mínimo calculando a segunda derivada e avaliando seu sinal em
de equilíbrio. A segunda derivada é
Multiplicando por
e usando
resulta
pois
. Logo a segunda derivada é positiva no ponto encontrado, confirmando mínimo.