Questão 4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
(2 p) Para uma dada substância, o potencial de Lennard-Jones pode ser escrito da forma V_{\mathrm{LJ}}(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^{6}}, onde A=1,684 \cdot 10^{-10} \AA^{12} \mathrm{eV} e B=1,079 \cdot 10^{-5} \AA^{6} \mathrm{eV}.
Determine a distância intermolecular “preferida” nesta substância.
Escolha uma opção:
\bigcirc 0,1774 \AA
\bigcirc 0,2371 \AA
\bigcirc 0,1265 \AA
\bigcirc 0,15808 \AA

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de Lennard-Jones
V_{\mathrm{LJ}}(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^{6}}
com os parâmetros numéricos
A=1,684\cdot 10^{-10}\\ \AA^{12}\,\mathrm{eV}, \qquad B=1,079\cdot 10^{-5}\\ \AA^{6}\,\mathrm{eV}.
A pergunta é: determinar a distância intermolecular “preferida” desta substância (isto é, o valor de r que torna o potencial mínimo).

Passo 2

Conceito importante (passo didático): a posição “preferida” corresponde ao mínimo do potencial V_{\mathrm{LJ}}(r). Para encontrar um mínimo de uma função de uma variável usamos a condição necessária
\frac{dV}{dr}=0.
Aqui r é a distância entre as moléculas (unidade \AA), A e B são constantes positivas dadas. Também é útil lembrar que a força entre partículas está relacionada ao potencial por F(r)=-\frac{dV}{dr}; força nula corresponde a ponto de equilíbrio. Para garantir que é um mínimo também podemos verificar a segunda derivada.

Passo 3

Calculemos a derivada de V_{\mathrm{LJ}}(r). Como V_{\mathrm{LJ}}(r)=A r^{-12}-B r^{-6} temos, usando a regra de potência para derivadas,
\frac{dV}{dr}=-12A\,r^{-13}+6B\,r^{-7}.

Passo 4

Impondo a condição de equilíbrio \dfrac{dV}{dr}=0 obtemos
-12A\,r^{-13}+6B\,r^{-7}=0.
Isolando termos e simplificando dividindo por 6r^{-13} (que é não nulo para r>0):
-2A + B r^{6}=0.
Portanto
B r^{6}=2A
e então
r^{6}=\frac{2A}{B}.

Passo 5

Tomando a sexta raiz, obtemos a expressão explícita do r de equilíbrio:
r=\left(\frac{2A}{B}\right)^{1/6}.
Observação sobre unidades: A tem unidade \AA^{12} e B tem unidade \AA^{6}, logo \dfrac{2A}{B} tem unidade \AA^{6} e a sexta raiz tem unidade \AA, como esperado.

Passo 6

Agora fazemos o cálculo numérico passo a passo. Primeiro calcule 2A:
2A=2\cdot 1,684\cdot 10^{-10}=3,368\cdot 10^{-10}\\ \AA^{12}\,\mathrm{eV}.
Agora a razão
\frac{2A}{B}=\frac{3,368\cdot 10^{-10}}{1,079\cdot 10^{-5}}.
Reescrevendo os fatores de potência de 10:
\frac{2A}{B}=\frac{3,368}{1,079}\cdot 10^{-5}.
Calculando o quociente:
\frac{3,368}{1,079}\approx 3,1214085,
logo
\frac{2A}{B}\approx 3,1214085\cdot 10^{-5}.

Passo 7

Agora precisamos da sexta raiz de 3,1214085\cdot 10^{-5}. Usamos logaritmos para calcular a raiz:
\log_{10}\!\left(3,1214085\cdot 10^{-5}\right)=\log_{10}(3,1214085)-5\approx 0,494157-5=-4,505843.
Dividindo por 6:
\frac{-4,505843}{6}=-0,7509738.
Voltando da base 10:
r=10^{-0,7509738}\\ \AA\approx 0,17759\\ \AA.

Passo 8

Verificação (didática): podemos checar que este ponto é realmente um mínimo calculando a segunda derivada e avaliando seu sinal em r de equilíbrio. A segunda derivada é
\frac{d^{2}V}{dr^{2}}=156A\,r^{-14}-42B\,r^{-8}.
Multiplicando por r^{14} e usando B r^{6}=2A resulta
r^{14}\frac{d^{2}V}{dr^{2}}=156A-42B r^{6}=156A-42\cdot 2A=156A-84A=72A>0,
pois A>0. Logo a segunda derivada é positiva no ponto encontrado, confirmando mínimo.

Resposta

0,1774\\ \AA

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