Uma distribuição de carga uniformemente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por rho(r)=rho0 exp (-r / a) com 0 <= r em que rho0 é uma constante e r é uma distância radial em relação à origem do sistema de coordenadas. (a) Calcule a carga total da distribuição e (b) a intensidade do campo elétrico produzido em um ponto qualquer do espaço.
Resposta: (a) Q=8 pi rho0 a^3 (b) E=2 rho0 a^3epsilon0 r^21-12[(ra)^2+2 ra+2] e^-ra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição de carga com densidade volumétrica rho(r) = rho0 exp(-r/a), que varia com a distância radial r a partir da origem. Estamos trabalhando com Eletrostática, que é a parte da física que estuda cargas elétricas em repouso e seus campos. Para resolver esse exercício, precisamos calcular:
(a) A carga total dessa distribuição de carga.
(b) A intensidade do campo elétrico em qualquer ponto no espaço.
Vamos usar integrações e princípios da Lei de Gauss para chegar nas respostas!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total Q. A densidade volumétrica de carga rho(r) nos diz quanto de carga está presente em cada volume do espaço. Para achar a carga total, precisamos integrar essa densidade sobre todo o espaço.
Como a distribuição é simétrica e depende apenas de r, é conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por dV = 4pi r^2 dr.
Então, a carga total Q é:
Q = integral0^infty rho(r) dV = integral0^infty rho0 exp(-ra) cdot 4pi r^2 dr

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, podemos tirar a constante rho0 e 4pi de fora da integral:
Q = 4pi rho0 integral0^infty r^2 exp(-ra) dr
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Seja x = ra, então r = a x e dr = a dx. Então, a integral fica:
Q = 4pi rho0 a^3 integral0^infty x^2 e^-x dx
Sabemos que integral0^infty x^2 e^-x dx = 2! = 2. Portanto:
Q = 4pi rho0 a^3 cdot 2 = 8pi rho0 a^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a intensidade do campo elétrico E em um ponto qualquer do espaço. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que está dentro de uma superfície gaussiana.
Escolhemos uma esfera de raio r centrada na origem. Pela simetria, o campo elétrico terá o mesmo valor em toda a superfície da esfera e será radial.
A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencepsilon0
Como E é constante na superfície gaussiana e paralelo a dA, a integral se simplifica para E cdot 4pi r^2 = Qencepsilon0.
Então,
E = Qenc4pi epsilon0 r^2

Passo 5

Precisamos agora encontrar Qenc, que é a carga dentro da esfera de raio r. Isso é similar ao que fizemos para a carga total, mas agora o limite superior da integral é r em vez de infty.
Qenc = integral0^r rho(r') dV' = 4pi rho0 integral0^r r'^2 exp(-r'a) dr'
Fazemos a substituição x = r'a, então r' = a x e dr' = a dx:
Qenc = 4pi rho0 a^3 integral0^ra x^2 e^-x dx
A integral integral x^2 e^-x dx é conhecida e se relaciona com a função gama, mas podemos expressar em termos de termos exponenciais e polinomiais. Após realizar a integração, teremos:
Qenc = 4pi rho0 a^3 [2 - 2 e^-ra (1 + ra + r^22a^2)]

Passo 6

Substituindo Qenc na expressão para E, temos:
E = 4pi rho0 a^3 [2 - 2 e^-ra (1 + ra + r^22a^2)]4pi epsilon0 r^2 = rho0 a^3epsilon0 r^2 [2 - 2 e^-ra (1 + ra + r^22a^2)]
Simplificando, chegamos na expressão final:
E = 2 rho0 a^3epsilon0 r^2 1 - 12 [(ra)^2 + 2ra + 2] e^-ra

Resposta

(a) Q = 8 pi rho0 a^3
(b) E = 2 rho0 a^3epsilon0 r^2 1 - 12 [(ra)^2 + 2 ra + 2] e^-ra

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