Uma distribuição de carga uniformemente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por
com
em que
é uma constante e
é uma distância radial em relação à origem do sistema de coordenadas. (a) Calcule a carga total da distribuição e (b) a intensidade do campo elétrico produzido em um ponto qualquer do espaço.
Resposta: (a)
(b)
Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição de carga com densidade volumétrica
, que varia com a distância radial
a partir da origem. Estamos trabalhando com Eletrostática, que é a parte da física que estuda cargas elétricas em repouso e seus campos. Para resolver esse exercício, precisamos calcular:
(a) A carga total dessa distribuição de carga.
(b) A intensidade do campo elétrico em qualquer ponto no espaço.
Vamos usar integrações e princípios da Lei de Gauss para chegar nas respostas!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total
. A densidade volumétrica de carga
nos diz quanto de carga está presente em cada volume do espaço. Para achar a carga total, precisamos integrar essa densidade sobre todo o espaço.
Como a distribuição é simétrica e depende apenas de
, é conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por
.
Então, a carga total
é:
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, podemos tirar a constante
e
de fora da integral:
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
e
. Então, a integral fica:
Sabemos que
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a intensidade do campo elétrico
em um ponto qualquer do espaço. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que está dentro de uma superfície gaussiana.
Escolhemos uma esfera de raio
centrada na origem. Pela simetria, o campo elétrico terá o mesmo valor em toda a superfície da esfera e será radial.
A Lei de Gauss nos diz que:
Como
é constante na superfície gaussiana e paralelo a
, a integral se simplifica para
.
Então,
Passo 5
Precisamos agora encontrar
, que é a carga dentro da esfera de raio
. Isso é similar ao que fizemos para a carga total, mas agora o limite superior da integral é
em vez de
.
Fazemos a substituição
, então
e
:
A integral
é conhecida e se relaciona com a função gama, mas podemos expressar em termos de termos exponenciais e polinomiais. Após realizar a integração, teremos:
Passo 6
Substituindo
na expressão para
, temos:
Simplificando, chegamos na expressão final:
Resposta
(a)
(b)