Uma distribuição de cargas não-uniforme, mas com simetria esférica,
produz um campo elétrico de módulo
em que
é uma constante e
é a distância radial em relação ao centro da esfera. O campo elétrico é divergente. Qual é a distribuição volumétrica de cargas
?
produz um campo elétrico de módulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletricidade que fala sobre uma distribuição de cargas que não é uniforme, mas tem simetria esférica. Isso significa que a maneira como as cargas estão distribuídas depende apenas da distância do centro, não da direção. O enunciado nos dá que o campo elétrico $ E $ tem módulo $ E = C r^{4} $, onde $ C $ é uma constante e $ r $ é a distância radial. Queremos descobrir qual é a distribuição volumétrica de cargas $ \rho $ que causa esse campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante da física chamada Lei de Gauss. No caso de campos elétricos, a Lei de Gauss relaciona a divergência do campo elétrico $ \nabla \cdot E $ com a densidade de carga $ \rho $. A fórmula é:
Aqui, $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo, uma constante da natureza.
Passo 3
Agora, como temos simetria esférica, podemos simplificar o cálculo da divergência do campo elétrico. Em coordenadas esféricas, para um campo radial $ E_r $, a divergência fica:
No nosso caso, $ E_{r} = C r^{4} $, então vamos substituir:
Passo 4
Vamos derivar $ C r^{6} $ em relação a $ r $:
Agora, substituímos de volta na expressão da divergência:
Passo 5
Agora, usando a Lei de Gauss que mencionamos antes:
Para encontrar $ \rho $, vamos isolar ela na equação:
Resposta
A distribuição volumétrica de cargas é $ \rho = 6 C \varepsilon_{0} , r^{3} $.