Uma distribuição de cargas não-uniforme, mas com simetria esférica,
produz um campo elétrico de módulo E=C r^4 em que C é uma constante e r é a distância radial em relação ao centro da esfera. O campo elétrico é divergente. Qual é a distribuição volumétrica de cargas rho ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletricidade que fala sobre uma distribuição de cargas que não é uniforme, mas tem simetria esférica. Isso significa que a maneira como as cargas estão distribuídas depende apenas da distância do centro, não da direção. O enunciado nos dá que o campo elétrico $ E $ tem módulo $ E = C r^{4} $, onde $ C $ é uma constante e $ r $ é a distância radial. Queremos descobrir qual é a distribuição volumétrica de cargas $ \rho $ que causa esse campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante da física chamada Lei de Gauss. No caso de campos elétricos, a Lei de Gauss relaciona a divergência do campo elétrico $ \nabla \cdot E $ com a densidade de carga $ \rho $. A fórmula é:
nabla cdot E
Aqui, $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo, uma constante da natureza.

Passo 3

Agora, como temos simetria esférica, podemos simplificar o cálculo da divergência do campo elétrico. Em coordenadas esféricas, para um campo radial $ E_r $, a divergência fica:
Er
No nosso caso, $ E_{r} = C r^{4} $, então vamos substituir:
nabla cdot E = 1r^2 ddr (r^2 Er)

Passo 4

Vamos derivar $ C r^{6} $ em relação a $ r $:
C r^6
Agora, substituímos de volta na expressão da divergência:
r

Passo 5

Agora, usando a Lei de Gauss que mencionamos antes:
6C r^3 = rhovarepsilon0
Para encontrar $ \rho $, vamos isolar ela na equação:
rho

Resposta

A distribuição volumétrica de cargas é $ \rho = 6 C \varepsilon_{0} , r^{3} $.

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