Um mergulhador no mar se encontra em uma profundidade de 25 m por onde passa uma corrente de água fria de temperatura 4^circ C. Devido à força de empuxo uma bolha de ar expelida pelo mergulhador se desloca até a superficie, onde a temperatura da água é 10^circ C. Supondo que o calor específico a volume constante do ar na bolha é CV=72 R, determine:
O volume da bolha, em função do seu volume inicial, ao atingir a superficie.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre um mergulhador que solta uma bolha de ar no mar a 25 metros de profundidade, onde a água está bem fria, a 4^circ C. Essa bolha sobe até a superfície, onde a temperatura da água é 10^circ C. Precisamos descobrir como o volume da bolha muda durante essa subida, ou seja, qual será o volume final da bolha na superfície em relação ao volume inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à Lei dos Gases Ideais e Pressão Hidrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Pressão a que a bolha está sujeita em cada ponto. A pressão total a uma profundidade $ h $ é a soma da pressão atmosférica ($ P_{atm} $) mais a pressão exercida pela coluna de água acima da bolha, que é calculada pela fórmula:
h
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente Patm ),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( P = Patm + rho cdot g cdot h ),
  • $ h $ é a profundidade (25 m).

Passo 3

Vamos calcular a pressão a 25 metros de profundidade:
P1 = Patm + rho cdot g cdot h = 101325 , Pa + 1000 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 25 , m
P1 = 101325 , Pa + 245250 , Pa = 346575 , Pa
Na superfície, a pressão é apenas a pressão atmosférica:
P2 = Patm = 101325 , Pa

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão ($ P P V V T $):
T
Queremos encontrar o volume final $ V_2 $ em termos do volume inicial $ V_1 $:
P1 cdot V1T1 = P2 cdot V2T2

Passo 5

Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a temperatura na Lei dos Gases Ideais deve estar em Kelvin:
T1 = 4^circ C = 277 , K
T2 = 10^circ C = 283 , K

Passo 6

Substituindo os valores na equação do volume final:
V2 = V1 cdot 346575 , Pa101325 , Pa cdot 283 , K277 , K
Calculando cada parte:
346575101325 approx 3,417
283277 approx 1,0216

Passo 7

Multiplicando os resultados:
V2 approx V1 cdot 3,417 cdot 1,0216 approx V1 cdot 3,481

Resposta

O volume da bolha na superfície é aproximadamente 3,48 vezes o seu volume inicial. Ou seja,
V2 approx 3,48 cdot V1

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