6. Distribuição de Cargas em uma Casca Esférica

  • Uma casca esférica de raio R1 está carregada com uma densidade superficial de carga sigma. No centro da casca, há uma carga pontual Q . Determine o campo elétrico em função da distância r do centro (i) dentro da casca ( r<R1 ), (ii) na região da casca ( R1<r<R2 ), e (iii) fora da casca ( r>R2 ).

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica com duas superfícies carregadas (nas faces interna e externa) de raios R1 e R2, cada uma com densidade superficial de carga sigma, e um ponto de carga Q colocado no centro. Queremos o campo elétrico E(r) em função da distância r do centro, usando a Lei de Gauss, que para simetria esférica diz:
oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0 Longrightarrow E(r),4pi r^2 = Qintvarepsilon0

Passo 2

Região r<R1.
Dentro da cavidade ( r<R1), a única carga que fica dentro da superfície gaussiana esférica de raio r é a carga pontual Q. Logo,
Qint = Q Longrightarrow E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0,
portanto
E(r) = 14pivarepsilon0;Qr^2 (,r<R1,)

Passo 3

Região R1<r<R2.
Ao escolher uma esfera de raio r tal que R1<r<R2, ficam dentro dela:
  • a carga Q no centro;
  • a carga total da face interna da casca, Q1 = sigmacdot 4pi R1^2.
    Logo
Qint = Q + sigma,4pi R1^2,
e pela Lei de Gauss
E(r),4pi r^2 = Q + sigma,4pi R1^2varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0;Q + sigma,4pi R1^2r^2 (,R1<r<R2,)

Passo 4

Região r>R2.
Para r>R2, a esfera de raio r envolve:
  • a carga Q;
  • a carga da face interna, Q1 = sigma,4pi R1^2;
  • a carga da face externa, Q2 = sigma,4pi R2^2.
    Assim
Qint = Q + sigma,4pi R1^2 + sigma,4pi R2^2 = Q + sigma,4pil(R1^2+R2^2r),
e
E(r),4pi r^2 = Q + sigma,4pil(R1^2+R2^2r)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0;Q + sigma,4pil(R1^2+R2^2r)r^2 (,r>R2,)

Resposta

(i) E(r)=14pivarepsilon0;Qr^2(r<R1)
(ii) E(r)=14pivarepsilon0;Q+sigma,4pi R1^2r^2(R1<r<R2)
(iii) E(r)=14pivarepsilon0;Q+sigma,4pil(R1^2+R2^2r)r^2(r>R2)

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