6. Distribuição de Cargas em uma Casca Esférica
- Uma casca esférica de raio
está carregada com uma densidade superficial de carga
. No centro da casca, há uma carga pontual Q . Determine o campo elétrico em função da distância
do centro (i) dentro da casca (
), (ii) na região da casca (
), e (iii) fora da casca (
).
Passo 1
O enunciado descreve uma casca esférica com duas superfícies carregadas (nas faces interna e externa) de raios
e
, cada uma com densidade superficial de carga
, e um ponto de carga
colocado no centro. Queremos o campo elétrico
em função da distância
do centro, usando a Lei de Gauss, que para simetria esférica diz:
Passo 2
Região
.
Dentro da cavidade ( ), a única carga que fica dentro da superfície gaussiana esférica de raio
é a carga pontual
. Logo,
Dentro da cavidade (
portanto
Passo 3
Região
.
Ao escolher uma esfera de raio tal que
, ficam dentro dela:
Ao escolher uma esfera de raio
- a carga
no centro; - a carga total da face interna da casca,
.
Logo
e pela Lei de Gauss
Passo 4
Região
.
Para , a esfera de raio
envolve:
Para
- a carga
; - a carga da face interna,
; - a carga da face externa,
.
Assim
e
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)