Uma distribuição de cargas no espaço livre tem uma densidade volumétrica de carga dada por:
e é zero em todos os outros pontos do espaço. Determine o campo elétrico
nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de cargas no espaço livre, onde a densidade volumétrica de carga, que representa quanta carga está presente por unidade de volume, é dada por:
e é zero em todos os outros pontos. Queremos determinar o campo elétrico
nos pontos onde
e
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico
. Ele representa a força por unidade de carga que uma carga elétrica exerce em outra carga no espaço. A Lei de Gauss nos ajuda a encontrar esse campo quando temos uma distribuição de carga com simetria, como a esférica que temos aqui.
Passo 3
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade elétrica do vácuo (
):
Como nossa distribuição de carga é simétrica esfericamente, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio
centrada na mesma origem da distribuição de carga.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico para
, que está dentro da região onde a carga está distribuída (
).
Primeiro, precisamos encontrar a carga total dentro dessa esfera de raio 2 m:
Passo 5
Agora aplicamos a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico para
, que está fora da região onde a carga está distribuída (
). Nesse caso, toda a carga está dentro da nossa superfície gaussiana.
Primeiro, calculamos a carga total distribuída de
a
:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico
nos pontos solicitados é aproximadamente:
- Para
:
- Para
: