Uma distribuição de cargas no espaço livre tem uma densidade volumétrica de carga dada por:
rhov=2 r nC / m^3, para 0 <= r <= 10 m,
e é zero em todos os outros pontos do espaço. Determine o campo elétrico E nos pontos r=2 m e r=12 m.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de cargas no espaço livre, onde a densidade volumétrica de carga, que representa quanta carga está presente por unidade de volume, é dada por:
rhov = 2 r nC/m^3, para 0 <= r <= 10 m,
e é zero em todos os outros pontos. Queremos determinar o campo elétrico E nos pontos onde r = 2 m e r = 12 m. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico E. Ele representa a força por unidade de carga que uma carga elétrica exerce em outra carga no espaço. A Lei de Gauss nos ajuda a encontrar esse campo quando temos uma distribuição de carga com simetria, como a esférica que temos aqui.

Passo 3

A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade elétrica do vácuo ( varepsilon0):
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Como nossa distribuição de carga é simétrica esfericamente, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio r centrada na mesma origem da distribuição de carga.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico para r = 2 m, que está dentro da região onde a carga está distribuída ( 0 <= r <= 10 m).
Primeiro, precisamos encontrar a carga total dentro dessa esfera de raio 2 m:
Qdentro = integral0^2 rhov cdot 4pi r^2 dr = integral0^2 2r cdot 4pi r^2 dr = 8pi integral0^2 r^3 dr
= 8pi [ r^44 ]0^2 = 8pi ( 164 - 0 ) = 8pi cdot 4 = 32pi , nC

Passo 5

Agora aplicamos a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Qdentro4pi varepsilon0 r^2 = 32pi4pi varepsilon0 (2)^2 = 324 cdot 4 varepsilon0 = 2varepsilon0
Sabendo que varepsilon0 approx 8.85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2, temos:
E approx 28.85 times 10^-12 approx 2.26 times 10^11 , N/C

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico para r = 12 m, que está fora da região onde a carga está distribuída ( r > 10 m). Nesse caso, toda a carga está dentro da nossa superfície gaussiana.
Primeiro, calculamos a carga total distribuída de r = 0 a r = 10 m:
Qtotal = integral0^10 2r cdot 4pi r^2 dr = 8pi integral0^10 r^3 dr = 8pi [ r^44 ]0^10 = 8pi ( 100004 ) = 8pi cdot 2500 = 20000pi , nC
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 4pi (12)^2 = 20000pivarepsilon0
Resolvendo para E:
E = 20000pi4pi varepsilon0 (12)^2 = 200004 cdot 144 varepsilon0 = 20000576 varepsilon0 approx 34.72varepsilon0 approx 3.92 times 10^12 , N/C

Resposta

O campo elétrico E nos pontos solicitados é aproximadamente:
  • Para r = 2 m:
E approx 2.26 times 10^11 , N/C
  • Para r = 12 m:
E approx 3.92 times 10^12 , N/C

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