O plano x+2 y=5 está carregado com rhos=6 nC / m^2. Determine E em (-1,0,1).

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: “O plano dado por x + 2y = 5 tem uma densidade de carga superficial rhos = 6 nC/m^2. Precisamos achar o campo elétrico vec E no ponto P(-1,0,1).”
Conteúdo: eletrostática de superfícies carregadas. Vamos usar a fórmula do campo de uma lâmina infinita com densidade de carga superficial e calcular direção e sentido via o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, a teoria: o campo de uma lâmina infinita com carga superficial sigma tem magnitude constante
E = sigma2varepsilon0
de cada lado, e a direção é perpendicular à lâmina. Aqui temos sigma=rhos=6cdot10^-9,C/m^2 e varepsilon0approx8,85times10^-12,C^2/(Ncdot m^2).

Passo 3

Agora achamos a direção (vetor normal). A equação do plano é
1cdot x + 2cdot y + 0cdot z - 5 = 0,
logo o vetor normal “não normalizado” é vec n = (1,2,0). O módulo dele é
|vec n| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz5
O vetor normal unitário fica
hat n = vec n|vec n| = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)

Passo 4

A gente precisa saber pra que lado o campo aponta. Lembrando que cargas positivas repelem, então o campo sai da lâmina pra ambos os lados. Se usarmos hat n como “lado positivo” do plano, no lado onde ncdot r > 5 o campo é +E,hat n, e onde ncdot r < 5 o campo é -E,hat n.
No nosso ponto P(-1,0,1) vale
ncdot rP = 1cdot(-1) + 2cdot0 + 0cdot1 = -1 < 5,
ou seja, P está do lado oposto ao de hat n, então o campo lá vale
vec E = -,sigma2varepsilon0,hat n

Passo 5

Vamos aos números:
$$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{6\times10{-9}}{2,(8{,}85\times10{-12})}
\approx 3{,}39\times10^2\ \mathrm{N/C}. sigma2varepsilon0 = 6times10^-92,(8,85times10^-12) approx 3,39times10^2 N/Cáá\vec E \approx -,1{,}52\times10^2;\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},,\tfrac{2}{\sqrt5},,0\Bigr)
;\mathrm{N/C}.$$

Resposta

boxedvec E(-1,0,1) = -6times10^-92,varepsilon0raiz5,(1,,2,,0) N/Capprox(-1,52times10^2,,-3,04times10^2,,0) N/C

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