No espaço livre, D=2 y^2 ax+4 x y ay-az mC / m^2.
Determine a carga total armazenada na região 1, 1.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que no espaço livre temos o vetor D = (em mC/m²) e pede a carga total na região
1 < x < 2, 1 < y < 2, –1 < z < 4.
Conteúdo: eletromagnetismo — Lei de Gauss no formato diferencial ( ). Vamos precisar:
a) calcular a divergência de D,
b) usar ,
c) integrar sobre o volume dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergência: é uma medida de quanto o campo “saí” de cada ponto. Matematicamente,
nabla!cdot!D = partial Dxpartial x + partial Dypartial y + partial Dzpartial z
Aqui , , .

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial:
nabla!cdot!D = 0 + 4x + 0 = 4x (mC/m^3) (porque não depende de x),
,
.
Logo,

Passo 4

Pela forma diferencial da lei de Gauss, a densidade volumétrica de carga é Q = integralV rhov ,dV = integralx=1^2 !!integraly=1^2 !!integralz=-1^4 4x ,dz,dy,dx . A carga total é

Passo 5

Fazendo a integral em Q = integral1^2!integral1^2 4x,(5),dy,dx = 20 integral1^2!integral1^2 x ,dy,dx primeiro, Q = 20 integral1^2 x,dx = 20[x^22]1^2 = 20(4-12) = 20 times 1,5 = 30 :
Agora em , :

Resposta

A carga total na região vale .

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