No espaço livre,
.
Determine a carga total armazenada na região
,
.
Determine a carga total armazenada na região
Passo 1
Beleza, o exercício diz que no espaço livre temos o vetor D =
(em mC/m²) e pede a carga total na região
1 < x < 2, 1 < y < 2, –1 < z < 4.
Conteúdo: eletromagnetismo — Lei de Gauss no formato diferencial ( ). Vamos precisar:
a) calcular a divergência de D,
b) usar ,
c) integrar sobre o volume dado.
1 < x < 2, 1 < y < 2, –1 < z < 4.
Conteúdo: eletromagnetismo — Lei de Gauss no formato diferencial (
a) calcular a divergência de D,
b) usar
c) integrar
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergência: é uma medida de quanto o campo “saí” de cada ponto. Matematicamente,
Aqui
,
,
.
Passo 3
Calculemos cada derivada parcial:
(porque não depende de x),
,
.
Logo,
Logo,
Passo 4
Pela forma diferencial da lei de Gauss, a densidade volumétrica de carga é
. A carga total
é
Passo 5
Fazendo a integral em
primeiro,
:
Agora em
,
:
Resposta
A carga total na região vale
.