Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
D=rho sin phi arho+2 rho cos phi aphi+2 z^2 az C / m^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a densidade de carga elétrica (ρ_charge) a partir da densidade de fluxo elétrico ( D) dada. Isso está relacionado ao que estudamos em Eletrostática, especificamente usando o conceito de divergente em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar calcular a divergente de D usando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z). A divergente de um vetor D = Drho arho + Dphi aphi + Dz az é dada por:
nabla cdot D = 1rho partial (rho Drho)partial rho + 1rho partial Dphipartial phi + partial Dzpartial z
Essa expressão nos ajuda a encontrar a densidade de carga elétrica ( rhochar>=) através da relação:
rhochar>= = nabla cdot D

Passo 3

Vamos calcular cada termo da divergente separadamente usando a densidade de fluxo elétrico fornecida:
D = rho sin phi , arho + 2 rho cos phi , aphi + 2 z^2 , az
1. Calculando 1rho partial (rho Drho)partial rho:
rho Drho = rho cdot (rho sin phi) = rho^2 sin phi
partial (rho Drho)partial rho = partial (rho^2 sin phi)partial rho = 2rho sin phi
1rho partial (rho Drho)partial rho = 2rho sin phirho = 2 sin phi
2. Calculando 1rho partial Dphipartial phi:
Dphi = 2 rho cos phi
partial Dphipartial phi = partial (2 rho cos phi)partial phi = -2 rho sin phi
1rho partial Dphipartial phi = -2 rho sin phirho = -2 sin phi
3. Calculando partial Dzpartial z:
Dz = 2 z^2
partial Dzpartial z = partial (2 z^2)partial z = 4 z

Resposta

Agora, somando todos os termos calculados:
nabla cdot D = 2 sin phi - 2 sin phi + 4 z = 4 z
Portanto, a densidade de carga elétrica é:
rhochar>= = 4 z , C/m^3

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