Distribuição Contínua de Cargas - Defina e/ou expresse o que se pede:
Linha reta finita uniformemente carregada: (i#) campo elétrico coulombiano e (ii#*) potencial elétrico, ambos calculados a uma distância muito próxima do centro da linha (aproximação linha infinita de cargas).

Passo 1

O que o problema pede e os dados que vamos usar.
  • Pede-se: para uma linha reta finita, uniformemente carregada, obter (i) o campo elétrico e (ii) o potencial elétrico calculados “a uma distância muito próxima do centro da linha” — isto é, na região onde a distância perpendicular até a linha é muito menor do que a metade do comprimento da linha (aproximação que leva ao caso da linha infinita).
  • Dados e convenções que adotamos:
    • A linha tem comprimento L e está centrada na origem, ocupando o intervalo x\in[-a,a] com a=L/2.
    • A densidade linear de carga é \lambda (constante).
    • O ponto onde calculamos está no eixo perpendicular passando pelo centro, a uma distância r da linha (isto é, o ponto tem coordenadas (0,r)).
    • Constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • O pedido é portanto obter expressões para \mathbf{E}(r) e V(r) e, em seguida, simplificá-las na aproximação r\ll a (limite que reproduz a linha infinita).

Passo 2

Revisão rápida das fórmulas básicas e estratégia de integração.
  • Lei de Coulomb para um elemento de carga puntual: para um elemento dq situado a uma distância R do ponto de observação, o campo infinitesimal é
d\mathbf{E}=k\,\frac{dq}{R^{2}}\,\hat{\mathbf{u}}_{R},
onde \hat{\mathbf{u}}_{R} é o versor da direção do elemento até o ponto.
  • Potencial de um elemento dq:
dV=k\,\frac{dq}{R}.
  • Para distribuição linear uniforme usamos dq=\lambda\,dx.
  • Geometria: um elemento em x (sobre a linha) fica a distância R=\sqrt{x^{2}+r^{2}} do ponto (0,r). Pelo simetria, as componentes do campo ao longo do eixo x se cancelam e só sobra a componente perpendicular (vertical) para soma.

Passo 3

Escrever o elemento de campo e reduzir pela simetria.
  • A magnitude do campo devido ao elemento é
dE = k\,\frac{dq}{R^{2}} = k\,\frac{\lambda\,dx}{(x^{2}+r^{2})}.
  • A componente perpendicular (direção do r) é multiplicada por \cos\theta = \dfrac{r}{R}. Logo o elemento da componente útil é
dE_{r}=dE\cos\theta = k\,\frac{\lambda\,dx}{(x^{2}+r^{2})}\cdot\frac{r}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}} = k\lambda\,\frac{r\,dx}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}.
  • Pelo confronto simétrico dos terminais x e -x, a componente ao longo do eixo da linha é zero; então o campo total no ponto tem apenas essa componente radial (para fora se \lambda>0).

Passo 4

Integração para obter o campo elétrico exato (linha finita).
  • Integramos x de -a a +a:
E_{r} = \int_{-a}^{a} dE_{r} = k\lambda\,r\int_{-a}^{a} \frac{dx}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}.
  • A integranda é par, então
E_{r} = 2k\lambda\,r\int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}.
  • Uma primitiva conhecida é
\int \frac{dx}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}} = \frac{x}{r^{2}\sqrt{x^{2}+r^{2}}} + C.
  • Avaliando de 0 a a:
\int_{0}^{a}\frac{dx}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}=\frac{a}{r^{2}\sqrt{a^{2}+r^{2}}}.
  • Portanto
E_{r}=2k\lambda\,r\cdot\frac{a}{r^{2}\sqrt{a^{2}+r^{2}}} =2k\lambda\,\frac{a}{r\sqrt{a^{2}+r^{2}}}.
  • Substituindo a=L/2 e k=1/(4\pi\varepsilon_0) obtemos a expressão exata:
\mathbf{E}(r)=\frac{k\lambda L}{r\sqrt{\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^{2}+r^{2}}}\,\hat{\mathbf{r}} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{L}{r\sqrt{\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^{2}+r^{2}}}\,\hat{\mathbf{r}}.

Passo 5

Aproximação perto do centro: r\ll a (limite da linha longa / linha infinita).
  • Para a\gg r temos \sqrt{a^{2}+r^{2}} \approx a (mais precisamente \sqrt{a^{2}+r^{2}}=a\sqrt{1+(r/a)^{2}}\approx a\left(1+\dfrac{r^{2}}{2a^{2}}\right), mas o primeiro termo domina).
  • Substituindo \sqrt{a^{2}+r^{2}}\approx a na expressão exata:
E_{r}\approx 2k\lambda\,\frac{a}{r\,a}= \frac{2k\lambda}{r}.
  • Em termos de \varepsilon_0:
\mathbf{E}(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Interpretação: próximo ao centro e para L muito grande em comparação a r, o campo se comporta como o de uma linha infinita com intensidade decaindo como 1/r. O sentido (para fora ou para dentro) depende do sinal de \lambda.

Passo 6

Cálculo do potencial para a linha finita (exato).
  • O potencial no ponto é dado por
V(r)=\int_{-a}^{a} dV = k\lambda\int_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}.
  • Como a integranda é par:
V(r)=2k\lambda\int_{0}^{a}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}.
  • Uma primitiva é \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+r^{2}}\bigr)+C.
  • Avaliando:
V(r)=2k\lambda\left[\ln\!\bigl(a+\sqrt{a^{2}+r^{2}}\bigr)-\ln r\right] =2k\lambda\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+r^{2}}}{r}\right).
  • Substituindo a=L/2 e k=1/(4\pi\varepsilon_0):
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{\tfrac{L}{2}+\sqrt{\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^{2}+r^{2}}}{r}\right).
  • Observação física: esse V(r) assume referência V(\infty)=0; para linha infinita a energia absoluta diverge (logaritmo cresce sem limite), portanto só diferenças de potencial fazem sentido — veremos isso na aproximação.

Passo 7

Aproximação do potencial para r\ll a (linha efetivamente infinita).
  • Para a\gg r temos \sqrt{a^{2}+r^{2}}\approx a, então
a+\sqrt{a^{2}+r^{2}}\approx 2a,
e a expressão fica
V(r)\approx 2k\lambda\ln\!\left(\frac{2a}{r}\right).
  • Reescrevendo com L=2a e k=1/(4\pi\varepsilon_0):
V(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{L}{r}\right).
  • Para a linha infinita propriamente dita, o potencial tem a forma (até uma constante aditiva arbitrária C)
V_{\text{infinita}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_{0}}{r}\right),
onde r_{0} é um comprimento de referência que fixa o zero do potencial (equivalente ao termo \ln L que diverge quando L\to\infty). Em outras palavras, o comportamento logarítmico \propto\ln(1/r) é a característica da linha infinita.

Passo 8

Resumo físico e dicas para a prova (curto e prático).
  • Campo: para pontos próximos ao centro e r\ll L usar a aproximação de linha infinita,
\mathbf{E}(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Potencial: na mesma aproximação use a forma logarítmica (atenção: só diferenças de potencial têm significado absoluto),
V(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{L}{r}\right) \quad\text{(ou, para linha infinita, }V(r)=\tfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigl(r_{0}/r\bigr)\text{).}
  • Dica prática para prova: memorize a lei E_{\text{linha inf}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}. Se a linha for finita, derive rapidamente a expressão exata e então verifique se r\ll L para usar a aproximação. Para potencial lembre que ele diverge logaritmicamente com o comprimento da linha — por isso aparece a constante de referência.

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{E}(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\hat{\mathbf{r}}
(ii) \displaystyle V(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{L}{r}\right)

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