Distribuição Contínua de Cargas - Defina e/ou expresse o que se pede:
Linha reta finita uniformemente carregada: (i#) campo elétrico coulombiano e (ii#*) potencial elétrico, ambos calculados a uma distância muito próxima do centro da linha (aproximação linha infinita de cargas).
Passo 1
O que o problema pede e os dados que vamos usar.
Pede-se: para uma linha reta finita, uniformemente carregada, obter (i) o campo elétrico e (ii) o potencial elétrico calculados “a uma distância muito próxima do centro da linha” — isto é, na região onde a distância perpendicular até a linha é muito menor do que a metade do comprimento da linha (aproximação que leva ao caso da linha infinita).
Dados e convenções que adotamos:
A linha tem comprimento L e está centrada na origem, ocupando o intervalo x\in[-a,a] com a=L/2.
A densidade linear de carga é \lambda (constante).
O ponto onde calculamos está no eixo perpendicular passando pelo centro, a uma distância r da linha (isto é, o ponto tem coordenadas (0,r)).
O pedido é portanto obter expressões para \mathbf{E}(r) e V(r) e, em seguida, simplificá-las na aproximação r\ll a (limite que reproduz a linha infinita).
Passo 2
Revisão rápida das fórmulas básicas e estratégia de integração.
Lei de Coulomb para um elemento de carga puntual: para um elemento dq situado a uma distância R do ponto de observação, o campo infinitesimal é
onde \hat{\mathbf{u}}_{R} é o versor da direção do elemento até o ponto.
Potencial de um elemento dq:
dV=k\,\frac{dq}{R}.
Para distribuição linear uniforme usamos dq=\lambda\,dx.
Geometria: um elemento em x (sobre a linha) fica a distância R=\sqrt{x^{2}+r^{2}} do ponto (0,r). Pelo simetria, as componentes do campo ao longo do eixo x se cancelam e só sobra a componente perpendicular (vertical) para soma.
Passo 3
Escrever o elemento de campo e reduzir pela simetria.
A magnitude do campo devido ao elemento é
dE = k\,\frac{dq}{R^{2}} = k\,\frac{\lambda\,dx}{(x^{2}+r^{2})}.
A componente perpendicular (direção do r) é multiplicada por \cos\theta = \dfrac{r}{R}. Logo o elemento da componente útil é
Pelo confronto simétrico dos terminais x e -x, a componente ao longo do eixo da linha é zero; então o campo total no ponto tem apenas essa componente radial (para fora se \lambda>0).
Passo 4
Integração para obter o campo elétrico exato (linha finita).
Aproximação perto do centro: r\ll a (limite da linha longa / linha infinita).
Para a\gg r temos \sqrt{a^{2}+r^{2}} \approx a (mais precisamente \sqrt{a^{2}+r^{2}}=a\sqrt{1+(r/a)^{2}}\approx a\left(1+\dfrac{r^{2}}{2a^{2}}\right), mas o primeiro termo domina).
Substituindo \sqrt{a^{2}+r^{2}}\approx a na expressão exata:
Interpretação: próximo ao centro e para L muito grande em comparação a r, o campo se comporta como o de uma linha infinita com intensidade decaindo como 1/r. O sentido (para fora ou para dentro) depende do sinal de \lambda.
Passo 6
Cálculo do potencial para a linha finita (exato).
O potencial no ponto é dado por
V(r)=\int_{-a}^{a} dV = k\lambda\int_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}.
Observação física: esse V(r) assume referência V(\infty)=0; para linha infinita a energia absoluta diverge (logaritmo cresce sem limite), portanto só diferenças de potencial fazem sentido — veremos isso na aproximação.
Passo 7
Aproximação do potencial para r\ll a (linha efetivamente infinita).
Para a\gg r temos \sqrt{a^{2}+r^{2}}\approx a, então
onde r_{0} é um comprimento de referência que fixa o zero do potencial (equivalente ao termo \ln L que diverge quando L\to\infty). Em outras palavras, o comportamento logarítmico \propto\ln(1/r) é a característica da linha infinita.
Passo 8
Resumo físico e dicas para a prova (curto e prático).
Campo: para pontos próximos ao centro e r\ll L usar a aproximação de linha infinita,
Potencial: na mesma aproximação use a forma logarítmica (atenção: só diferenças de potencial têm significado absoluto),
V(r)\approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{L}{r}\right) \quad\text{(ou, para linha infinita, }V(r)=\tfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigl(r_{0}/r\bigr)\text{).}
Dica prática para prova: memorize a lei E_{\text{linha inf}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}. Se a linha for finita, derive rapidamente a expressão exata e então verifique se r\ll L para usar a aproximação. Para potencial lembre que ele diverge logaritmicamente com o comprimento da linha — por isso aparece a constante de referência.