Teoria do Potencial - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,60]
Corrente Fonte → Potencial Vetorial Magnético: potencial vetorial magnético em um certo ponto do espaço, produzido por uma distribuição contínua de corrente, (i#) para o caso geral; e (ii#) para o caso de um circuito distante.
Corrente Fonte → Potencial Vetorial Magnético: potencial vetorial magnético em um certo ponto do espaço, produzido por uma distribuição contínua de corrente, (i#) para o caso geral; e (ii#) para o caso de um circuito distante.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas relacionadas ao potencial vetorial magnético produzido por uma corrente-fonte:
- (i) a expressão do potencial vetorial magnético em um ponto do espaço para o caso geral de uma distribuição contínua de corrente;
- (ii) a expressão aproximada do potencial vetorial magnético no caso de um circuito “distante” (ponto de observação muito longe da região onde a corrente está concentrada).
Informações e hipóteses que vou usar (estão implícitas no enunciado e são necessárias para resolver):
- Trabalhamos em regime magnetostático (correntes estacionárias, dependência temporal desprezível), de modo que
é a densidade de corrente no volume e . - A distribuição de corrente é localizada (isto é,
é praticamente zero fora de uma região finita), permitindo a expansão em potências de para pontos distantes. - Constantes físicas:
é a permeabilidade do vácuo. - O objetivo é obter fórmulas explícitas e explicar as variáveis envolvidas.
Passo 2
Definição básica e equação de Poisson para
.
Em magnetostática, o potencial vetorial magnético é definido de modo que o campo magnético seja
Em magnetostática, o potencial vetorial magnético
Escolhendo a gauge de Coulomb (ou transversal) com
, as equações de Maxwell reduzem-se a uma forma de Poisson vetorial:
A solução dessa equação, análoga à solução da equação de Poisson escalar, é dada pela integral de volume de Green. Isso nos leva à expressão integral geral abaixo.
Passo 3
Expressão integral geral do potencial vetorial (caso contínuo).
A solução da equação de Poisson vetorial dá a expressão padrão do potencial vetorial magnético, válida para correntes estacionárias:
A solução da equação de Poisson vetorial dá a expressão padrão do potencial vetorial magnético, válida para correntes estacionárias:
Explicando cada símbolo:
-
é o potencial vetorial no ponto de observação . -
é a densidade de corrente no ponto fonte . -
é a distância entre o ponto de observação e o ponto fonte. - A constante
vem da solução do problema de Poisson no espaço livre.
Observação prática: se a corrente estiver concentrada em um fio fino (linha curva
) com corrente
, a densidade de corrente pode ser escrita como
(formalmente), e a integral de volume reduz-se à integral de linha
onde
é o elemento de comprimento orientado do fio no ponto
.
Passo 4
Ligando
à lei de Biot–Savart (checagem e intuição).
Podemos recuperar a forma conhecida de Biot–Savart para aplicando o rotacional a
da expressão integral. Usando a identidade
e permutando derivadas e integral (válido para correntes bem comportadas), obtém-se
Podemos recuperar a forma conhecida de Biot–Savart para
que é a expressão integral de Biot–Savart para uma distribuição de corrente contínua. Para fio fino isso dá a forma usual
Passo 5
Preparando a expansão para o caso de circuito distante (multipolar).
Para pontos de observação muito distantes da região onde a corrente está concentrada (isto é,
para todos os pontos fonte
), é útil expandir o núcleo
em série multipolar:
Para pontos de observação
onde
. Substituindo essa expansão na fórmula integral de
obtemos termos ordenados por potência de
: termo monopolar (proporcional a
), termo dipolar (proporcional a
ou
dependendo da combinação vetorial) etc.
Passo 6
Desaparecimento do termo monopolo e definição do momento magnético (físico).
O primeiro termo da expansão dá
O primeiro termo da expansão dá
Para correntes estacionárias localizadas esse termo monópolo é nulo:
. Intuição simples: não existe “carga magnética” monopolar; para correntes confinadas não há corrente líquida saindo da região (e por continuidade/condições de contorno a integral soma a zero). Assim o primeiro termo não contribui e o primeiro termo físico não nulo é o dipolar.
Define-se o momento magnético (momento de dipolo magnético) da distribuição de corrente por
Observações:
-
tem dimensão de corrente × área. - Para um laço fino de corrente
com área vetorial (magnitude igual à área do laço e direção dada pela regra da mão direita), tem-se .
Passo 7
Expressão dipolar para
no campo distante (resultado principal para circuito distante).
O termo dipolar da expansão leva à forma compacta e muito usada
O termo dipolar da expansão leva à forma compacta e muito usada
onde
é o momento magnético definido acima e
. Esta expressão é válida no regime de campo distante e é independente do detalhe fino da distribuição de corrente — depende apenas do momento magnético total
.
Comentários pedagógicos rápidos sobre a derivação: usando a expansão e a identidade do produto vetorial triplo
, integrando e usando
e a localização da corrente, chega-se ao resultado acima. A forma final é prática e muito utilizada em problemas de aproximação distante.
Passo 8
Campo magnético associado ao dipolo e validade.
A partir de pode-se obter o campo magnético dipolar padrão por
, o que dá
A partir de
Validade e uso prático:
- As fórmulas dipolares valem quando
é muito maior que o tamanho da fonte; são a primeira aproximação útil quando a distância é grande. - Para pontos mais próximos, é preciso usar a integral completa da Passo 3 (ou a integral de linha para fios finos).
Passo 9
Resumo intuitivo e dicas para prova (como usar prontamente).
- Memore a fórmula integral geral:
- Para fios finos: use a integral de linha com
. - Para pontos distantes, lembre-se que não há monopolo magnético e o primeiro termo relevante é o dipolar; memorize a forma simples
com
(ou
para um laço fino).
- Se ficar nervoso na prova: comece escrevendo a expressão integral geral e, se o problema pedir aproximação distante, faça a expansão até o termo dipolar e identifique
.
Resposta
(i)
(ii)