Teoria do Potencial - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,60]
Corrente Fonte → Potencial Vetorial Magnético: potencial vetorial magnético em um certo ponto do espaço, produzido por uma distribuição contínua de corrente, (i#) para o caso geral; e (ii#) para o caso de um circuito distante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas relacionadas ao potencial vetorial magnético produzido por uma corrente-fonte:
  • (i) a expressão do potencial vetorial magnético em um ponto do espaço para o caso geral de uma distribuição contínua de corrente;
  • (ii) a expressão aproximada do potencial vetorial magnético no caso de um circuito “distante” (ponto de observação muito longe da região onde a corrente está concentrada).
Informações e hipóteses que vou usar (estão implícitas no enunciado e são necessárias para resolver):
  • Trabalhamos em regime magnetostático (correntes estacionárias, dependência temporal desprezível), de modo que \mathbf{J}(\mathbf{r}') é a densidade de corrente no volume e \nabla\cdot\mathbf{J}=0.
  • A distribuição de corrente é localizada (isto é, \mathbf{J} é praticamente zero fora de uma região finita), permitindo a expansão em potências de |\mathbf{r}'|/|\mathbf{r}| para pontos distantes.
  • Constantes físicas: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • O objetivo é obter fórmulas explícitas e explicar as variáveis envolvidas.

Passo 2

Definição básica e equação de Poisson para \mathbf{A}.
Em magnetostática, o potencial vetorial magnético \mathbf{A}(\mathbf{r}) é definido de modo que o campo magnético seja
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{r}).
Escolhendo a gauge de Coulomb (ou transversal) com \nabla\cdot\mathbf{A}=0, as equações de Maxwell reduzem-se a uma forma de Poisson vetorial:
\nabla^{2}\mathbf{A}(\mathbf{r})=-\mu_0\,\mathbf{J}(\mathbf{r}).
A solução dessa equação, análoga à solução da equação de Poisson escalar, é dada pela integral de volume de Green. Isso nos leva à expressão integral geral abaixo.

Passo 3

Expressão integral geral do potencial vetorial (caso contínuo).
A solução da equação de Poisson vetorial dá a expressão padrão do potencial vetorial magnético, válida para correntes estacionárias:
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{todo o volume}}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^{3}r'.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{A}(\mathbf{r}) é o potencial vetorial no ponto de observação \mathbf{r}.
  • \mathbf{J}(\mathbf{r}') é a densidade de corrente no ponto fonte \mathbf{r}'.
  • \lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert é a distância entre o ponto de observação e o ponto fonte.
  • A constante \mu_0/(4\pi) vem da solução do problema de Poisson no espaço livre.
Observação prática: se a corrente estiver concentrada em um fio fino (linha curva \mathcal{C}) com corrente I, a densidade de corrente pode ser escrita como \mathbf{J}(\mathbf{r}')=I\,\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}_{\mathcal{C}})\,d\mathbf{l}' (formalmente), e a integral de volume reduz-se à integral de linha
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{\mathcal{C}}\frac{I\,d\mathbf{l}'}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert},
onde d\mathbf{l}' é o elemento de comprimento orientado do fio no ponto \mathbf{r}'.

Passo 4

Ligando \mathbf{A} à lei de Biot–Savart (checagem e intuição).
Podemos recuperar a forma conhecida de Biot–Savart para \mathbf{B} aplicando o rotacional a \mathbf{A} da expressão integral. Usando a identidade \nabla (1/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert) = -(\mathbf{r}-\mathbf{r}')/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3} e permutando derivadas e integral (válido para correntes bem comportadas), obtém-se
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}}\,d^{3}r',
que é a expressão integral de Biot–Savart para uma distribuição de corrente contínua. Para fio fino isso dá a forma usual
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\mathcal{C}}\frac{d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}}.

Passo 5

Preparando a expansão para o caso de circuito distante (multipolar).
Para pontos de observação \mathbf{r} muito distantes da região onde a corrente está concentrada (isto é, \lvert\mathbf{r}\rvert\gg\lvert\mathbf{r}'\rvert para todos os pontos fonte \mathbf{r}'), é útil expandir o núcleo 1/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert em série multipolar:
\frac{1}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert} =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^{3}}+\mathcal{O}\!\Big(\frac{r'^{2}}{r^{3}}\Big),
onde r=\lvert\mathbf{r}\rvert. Substituindo essa expansão na fórmula integral de \mathbf{A} obtemos termos ordenados por potência de 1/r: termo monopolar (proporcional a 1/r), termo dipolar (proporcional a 1/r^{2} ou 1/r^{3} dependendo da combinação vetorial) etc.

Passo 6

Desaparecimento do termo monopolo e definição do momento magnético (físico).
O primeiro termo da expansão dá
\mathbf{A}^{(0)}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r}\int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,d^{3}r'.
Para correntes estacionárias localizadas esse termo monópolo é nulo: \displaystyle\int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,d^{3}r'= \mathbf{0}. Intuição simples: não existe “carga magnética” monopolar; para correntes confinadas não há corrente líquida saindo da região (e por continuidade/condições de contorno a integral soma a zero). Assim o primeiro termo não contribui e o primeiro termo físico não nulo é o dipolar.
Define-se o momento magnético (momento de dipolo magnético) da distribuição de corrente por
\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,d^{3}r'.
Observações:
  • \mathbf{m} tem dimensão de corrente × área.
  • Para um laço fino de corrente I com área vetorial \mathbf{S} (magnitude igual à área do laço e direção dada pela regra da mão direita), tem-se \mathbf{m}=I\,\mathbf{S}.

Passo 7

Expressão dipolar para \mathbf{A} no campo distante (resultado principal para circuito distante).
O termo dipolar da expansão leva à forma compacta e muito usada
\boxed{\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) \approx \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}}\quad\text{para }r\gg r', }
onde \mathbf{m} é o momento magnético definido acima e r=\lvert\mathbf{r}\rvert. Esta expressão é válida no regime de campo distante e é independente do detalhe fino da distribuição de corrente — depende apenas do momento magnético total \mathbf{m}.
Comentários pedagógicos rápidos sobre a derivação: usando a expansão e a identidade do produto vetorial triplo (\mathbf{r}'\times\mathbf{J})\times\mathbf{r} = \mathbf{J}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}) - \mathbf{r}'(\mathbf{J}\cdot\mathbf{r}), integrando e usando \nabla\cdot\mathbf{J}=0 e a localização da corrente, chega-se ao resultado acima. A forma final é prática e muito utilizada em problemas de aproximação distante.

Passo 8

Campo magnético associado ao dipolo e validade.
A partir de \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) pode-se obter o campo magnético dipolar padrão por \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}, o que dá
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3\mathbf{r}(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})}{r^{5}}-\frac{\mathbf{m}}{r^{3}}\right).
Validade e uso prático:
  • As fórmulas dipolares valem quando r é muito maior que o tamanho da fonte; são a primeira aproximação útil quando a distância é grande.
  • Para pontos mais próximos, é preciso usar a integral completa da Passo 3 (ou a integral de linha para fios finos).

Passo 9

Resumo intuitivo e dicas para prova (como usar prontamente).
  • Memore a fórmula integral geral:
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^{3}r'.
  • Para fios finos: use a integral de linha com I\,d\mathbf{l}'.
  • Para pontos distantes, lembre-se que não há monopolo magnético e o primeiro termo relevante é o dipolar; memorize a forma simples
\mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}},
com \mathbf{m}=\tfrac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,d^{3}r' (ou \mathbf{m}=I\mathbf{S} para um laço fino).
  • Se ficar nervoso na prova: comece escrevendo a expressão integral geral e, se o problema pedir aproximação distante, faça a expansão até o termo dipolar e identifique \mathbf{m}.

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^{3}r'
(ii) \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}}\quad\text{para }r\gg r',\quad\text{com }\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int\mathbf{r}'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,d^{3}r'

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