Distribuições contínuas de cargas em movimento (corrente elétrica) - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,60]
[0,20] Espira de Corrente (dipolo magnético): (i#) momento de dipolo magnético; e campo de indução magnético produzido por uma espira de corrente, sobre o seu eixo de simetria, (i#) tanto em um ponto próximo da espira, (ii#) quanto em um ponto muito longe do mesmo (aproximação do dipolo pontual).
[0,20] Espira de Corrente (dipolo magnético): (i#) momento de dipolo magnético; e campo de indução magnético produzido por uma espira de corrente, sobre o seu eixo de simetria, (i#) tanto em um ponto próximo da espira, (ii#) quanto em um ponto muito longe do mesmo (aproximação do dipolo pontual).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras (vou listar exatamente o que você tem que entregar):
- (i#) Definir/expressar o momento de dipolo magnético de uma espira de corrente (fórmula e direção).
- (i#*) Dar o campo de indução magnético produzido por uma espira circular de corrente sobre o seu eixo de simetria: (i) em um ponto próximo da espira (avaliar a expressão exata e o valor no centro) e (ii) em um ponto muito longe da espira — ou seja, a aproximação de dipolo pontual (expressão assintótica e relação com o momento de dipolo).
Informações implícitas que vamos usar (não foi dado nada numérico, portanto tudo será expresso em termos dee , corrente e raio da espira).
Passo 2
Breve revisão da lei que usamos: Biot–Savart.
- A lei de Biot–Savart dá o campo magnético em
devido a um fio com corrente :
onde
é o vetor que vai do elemento de fio
até o ponto de campo,
e
é a permeabilidade do vácuo.
- Intuição: cada pequeno trecho
produz um pequeno cuja direção é dada por e cuja intensidade decai como (o fator vem junto com o produto vetorial que traz uma dimensão de comprimento).
Passo 3
Escolha de coordenadas e parametrização da espira (padrão para a prova).
- Coloco a espira circular de raio
no plano , centrada na origem. O eixo de simetria é o eixo . O ponto onde quero o campo fica em . - Parametrizo a espira por
(ângulo polar no plano): a posição de um elemento do fio é
- O elemento de comprimento é
- O vetor da fonte até o ponto é
com comprimento
(note que isso não depende de
em módulo).
Passo 4
Cálculo do produto vetorial do integrando (detalhado — não pule isso na prova!).
- Calculo
. Usando as componentes:
- O componente
do produto vetorial (o único que sobrevive após integrar em por simetria) é
Observação: as componentes
e
do produto vetorial são proporcionais a
e
e, ao integrar
de
a
, cancelam-se por simetria. Por isso só resta o componente
.
Passo 5
Integração pelo ângulo e expressão exata do campo no eixo.
- Substituindo no Biot–Savart e integrando
de a :
- Simplificando:
A direção é ao longo do eixo
: se a corrente for no sentido anti-horário vista de
, então
aponta para
(use a regra da mão direita para decidir o sinal). Essa é a expressão exata válida para qualquer
sobre o eixo.
Passo 6
Momento de dipolo magnético da espira: definição, significado e orientação.
- Definição geral: o momento de dipolo magnético de uma espira que carrega uma corrente
e tem área vetorial é
onde
tem magnitude igual à área da espira e direção perpendicular ao plano da espira dada pela regra da mão direita (polegar indica
quando os dedos apontam no sentido da corrente).
- Para uma espira circular de raio
no plano :
Interpretação física curta:
é o “poder magnético” da espira; é a quantidade que aparece nas fórmulas de campo dipolar distante, torque
e energia
.
Passo 7
Limite de ponto distante (aproximação de dipolo pontual) — derivação assintótica e forma vetorial.
- Para
(distâncias muito maiores que o tamanho da espira), da expressão exata:
- Escrevendo em termos do momento
:
- Portanto, no eixo, o campo de um dipolo magnético pontual fica
com
.
- Forma vetorial geral do campo dipolar (útil na prova):
onde
. Essa fórmula reduz-se, no eixo do dipolo, à expressão axial acima (verifique projetando
em
).
Passo 8
Comportamento próximo da espira (expansão em série em torno de
; valor no centro).
- Valor no centro (
) da expressão exata:
essa é uma fórmula muito prática para decorar: campo no centro de uma espira circular.
- Expansão em potências pequenas de
(use para ):
Isto diz que, perto do centro, o campo decresce com
(paridade par em
) e a primeira correção é negativa.
Passo 9
Resumo prático para a prova (o que memorizar e o que derivar rapidamente).
- Memorize:
(campo no eixo), e . - Para pontos muito distantes, use a forma dipolar:
. - DICA amiga: se pedirem “mostrar” na prova, comece da Biot–Savart, parametrizando a espira como aqui — a integral é curta e elegante. Você fez certo até aqui!
Resposta
(i#)
(para a espira no plano
,
).
(i#*) (i) Campo no eixo em posição (expressão exata):
(i#*) (i) Campo no eixo em posição
valor no centro
, e expansão próxima
(i#*) (ii) Aproximação dipolar para (e relação com
):
(i#*) (ii) Aproximação dipolar para
e forma vetorial geral do dipolo