Distribuições contínuas de cargas em movimento (corrente elétrica) - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,60]
[0,20] Espira de Corrente (dipolo magnético): (i#) momento de dipolo magnético; e campo de indução magnético produzido por uma espira de corrente, sobre o seu eixo de simetria, (i#) tanto em um ponto próximo da espira, (ii#) quanto em um ponto muito longe do mesmo (aproximação do dipolo pontual).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras (vou listar exatamente o que você tem que entregar):
  • (i#) Definir/expressar o momento de dipolo magnético de uma espira de corrente (fórmula e direção).
  • (i#*) Dar o campo de indução magnético produzido por uma espira circular de corrente sobre o seu eixo de simetria: (i) em um ponto próximo da espira (avaliar a expressão exata e o valor no centro) e (ii) em um ponto muito longe da espira — ou seja, a aproximação de dipolo pontual (expressão assintótica e relação com o momento de dipolo).
    Informações implícitas que vamos usar (não foi dado nada numérico, portanto tudo será expresso em termos de I e R, corrente e raio da espira).

Passo 2

Breve revisão da lei que usamos: Biot–Savart.
  • A lei de Biot–Savart dá o campo magnético em \mathbf{r} devido a um fio com corrente I:
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{d\mathbf{l}'\times \mathbf{R}}{R^{3}},
onde \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai do elemento de fio d\mathbf{l}' até o ponto de campo, R=|\mathbf{R}| e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • Intuição: cada pequeno trecho d\mathbf{l}' produz um pequeno \,d\mathbf{B} cuja direção é dada por d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} e cuja intensidade decai como 1/R^{2} (o fator 1/R^{3} vem junto com o produto vetorial que traz uma dimensão de comprimento).

Passo 3

Escolha de coordenadas e parametrização da espira (padrão para a prova).
  • Coloco a espira circular de raio R no plano xy, centrada na origem. O eixo de simetria é o eixo z. O ponto onde quero o campo fica em \mathbf{r}=(0,0,z).
  • Parametrizo a espira por \varphi (ângulo polar no plano): a posição de um elemento do fio é
\mathbf{r}'(\varphi)=R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}},\qquad \varphi\in[0,2\pi).
  • O elemento de comprimento é
d\mathbf{l}'=\frac{d\mathbf{r}'}{d\varphi}\,d\varphi =(-R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}})\,d\varphi.
  • O vetor da fonte até o ponto é
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}' = -R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}} -R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + z\,\hat{\mathbf{z}},
com comprimento R_{\text{mag}}=\sqrt{R^{2}+z^{2}} (note que isso não depende de \varphi em módulo).

Passo 4

Cálculo do produto vetorial do integrando (detalhado — não pule isso na prova!).
  • Calculo d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}. Usando as componentes:
d\mathbf{l}'=(-R\sin\varphi\,d\varphi,\; R\cos\varphi\,d\varphi,\;0),\qquad \mathbf{R}=(-R\cos\varphi,\;-R\sin\varphi,\;z).
  • O componente z do produto vetorial (o único que sobrevive após integrar em \varphi por simetria) é
\big(d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}\big)_{z}=(-R\sin\varphi\,d\varphi)(-R\sin\varphi)-(R\cos\varphi\,d\varphi)(-R\cos\varphi)=R^{2}d\varphi.
Observação: as componentes x e y do produto vetorial são proporcionais a z\cos\varphi e z\sin\varphi e, ao integrar \varphi de 0 a 2\pi, cancelam-se por simetria. Por isso só resta o componente z.

Passo 5

Integração pelo ângulo e expressão exata do campo no eixo.
  • Substituindo no Biot–Savart e integrando \varphi de 0 a 2\pi:
B_{z}(z)=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{2}\,d\varphi}{\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}} =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{R^{2}}{\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\cdot 2\pi.
  • Simplificando:
\boxed{\,B_{z}(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\,}
A direção é ao longo do eixo z: se a corrente for no sentido anti-horário vista de +z, então \mathbf{B} aponta para +z (use a regra da mão direita para decidir o sinal). Essa é a expressão exata válida para qualquer z sobre o eixo.

Passo 6

Momento de dipolo magnético da espira: definição, significado e orientação.
  • Definição geral: o momento de dipolo magnético de uma espira que carrega uma corrente I e tem área vetorial \mathbf{A} é
\boxed{\,\mathbf{m}=I\,\mathbf{A}\,}
onde \mathbf{A} tem magnitude igual à área da espira e direção perpendicular ao plano da espira dada pela regra da mão direita (polegar indica \mathbf{A} quando os dedos apontam no sentido da corrente).
  • Para uma espira circular de raio R no plano xy:
\mathbf{A}=\pi R^{2}\,\hat{\mathbf{z}}\quad\Rightarrow\quad \boxed{\,\mathbf{m}=I\pi R^{2}\,\hat{\mathbf{z}}\,.}
Interpretação física curta: \mathbf{m} é o “poder magnético” da espira; é a quantidade que aparece nas fórmulas de campo dipolar distante, torque \boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B} e energia U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}.

Passo 7

Limite de ponto distante (aproximação de dipolo pontual) — derivação assintótica e forma vetorial.
  • Para z\gg R (distâncias muito maiores que o tamanho da espira), da expressão exata:
B_{z}(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}} \approx \frac{\mu_0 I R^{2}}{2 z^{3}}\quad(\text{pois }R^{2}+z^{2}\approx z^{2}).
  • Escrevendo em termos do momento \mathbf{m}=I\pi R^{2}\hat{\mathbf{z}}:
\frac{\mu_0 I R^{2}}{2 z^{3}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{2(I\pi R^{2})}{z^{3}} =\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{2\,m}{z^{3}}.
  • Portanto, no eixo, o campo de um dipolo magnético pontual fica
\boxed{\,B_{z}^{(\text{dip})}(z)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2\,m}{z^{3}}\,,\qquad(z\gg R)\,}
com \mathbf{m}=m\hat{\mathbf{z}}.
  • Forma vetorial geral do campo dipolar (útil na prova):
\boxed{\,\mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^{3}}\Big[3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}\Big]\,}
onde \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r. Essa fórmula reduz-se, no eixo do dipolo, à expressão axial acima (verifique projetando \mathbf{m} em \hat{\mathbf{r}}).

Passo 8

Comportamento próximo da espira (expansão em série em torno de z=0; valor no centro).
  • Valor no centro ( z=0) da expressão exata:
\boxed{\,B_{z}(0)=\frac{\mu_0 I}{2R}\,}
essa é uma fórmula muito prática para decorar: campo no centro de uma espira circular.
  • Expansão em potências pequenas de z (use (1+x)^{-3/2}\approx 1-\tfrac{3}{2}x+\cdots para x=z^{2}/R^{2}\ll1):
B_{z}(z)=\frac{\mu_0 I}{2R}\left(1-\frac{3}{2}\frac{z^{2}}{R^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{z^{4}}{R^{4}}\right)\right).
Isto diz que, perto do centro, o campo decresce com z^{2} (paridade par em z) e a primeira correção é negativa.

Passo 9

Resumo prático para a prova (o que memorizar e o que derivar rapidamente).
  • Memorize: \,B_{z}(z)=\dfrac{\mu_0 I R^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\, (campo no eixo), \,B_{z}(0)=\dfrac{\mu_0 I}{2R}\, e \,\mathbf{m}=I\pi R^{2}\hat{\mathbf{z}}\,.
  • Para pontos muito distantes, use a forma dipolar: \mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi r^{3}}[3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}].
  • DICA amiga: se pedirem “mostrar” na prova, comece da Biot–Savart, parametrizando a espira como aqui — a integral é curta e elegante. Você fez certo até aqui!

Resposta

(i#) \displaystyle \mathbf{m}=I\mathbf{A}=I\pi R^{2}\,\hat{\mathbf{n}} (para a espira no plano xy, \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{z}}).
(i#*) (i) Campo no eixo em posição z (expressão exata):
\displaystyle B_{z}(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}},
valor no centro \displaystyle B_{z}(0)=\frac{\mu_0 I}{2R}, e expansão próxima \displaystyle B_{z}(z)=\frac{\mu_0 I}{2R}\Big(1-\tfrac{3}{2}\tfrac{z^{2}}{R^{2}}+\cdots\Big).
(i#*) (ii) Aproximação dipolar para z\gg R (e relação com \mathbf{m}):
\displaystyle B_{z}(z)\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2\,m}{z^{3}}\quad\text{com}\quad m=I\pi R^{2},
e forma vetorial geral do dipolo
\displaystyle \mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^{3}}\Big[3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}\Big].

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