Distribuição Discreta da Cargas - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,40]
a) [0,40] Dipolo Elétrico: (i#) momento de dipolo elétrico; e (ii#) o campo elétrico e o (iii#*) potencial elétrico, ambos atuando em um ponto localizado no plano que é mediatriz do segmento que une as cargas do dipolo, mas bem longe do mesmo (aproximação do dipolo puntual).
a) [0,40] Dipolo Elétrico: (i#) momento de dipolo elétrico; e (ii#) o campo elétrico e o (iii#*) potencial elétrico, ambos atuando em um ponto localizado no plano que é mediatriz do segmento que une as cargas do dipolo, mas bem longe do mesmo (aproximação do dipolo puntual).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que vamos usar (geometria clara).
- Pede: (i) definir/expressionar o momento de dipolo elétrico; (ii) achar o campo elétrico; (iii) achar o potencial elétrico — todos avaliados num ponto que está no plano mediatriz do segmento que une as cargas do dipolo, e muito longe do dipolo (aproximação de dipolo puntual).
- Geometria e notação que vou usar (padrão, simples e útil para prova):
- Duas cargas pontuais
e separadas por uma distância .) - Centro do par de cargas na origem; o eixo do dipolo é o eixo
, com em e em . - Ponto de observação
está no plano mediatriz (plano que contém -axis por conveniência) a uma distância do centro do dipolo; ou seja . Importante: vamos usar a hipótese (distância muito maior que a separação). - Constante elétrica
é a permissividade do vácuo.
- Duas cargas pontuais
- Observação útil: no plano mediatriz as distâncias do ponto
a cada carga são iguais (simetria), o que simplifica potencias e campos.
Passo 2
Definição do momento de dipolo elétrico (o que é, fórmula e interpretação física).
- Definição: o momento de dipolo elétrico
para duas cargas e separadas por um vetor que vai da carga negativa para a positiva é
- No nosso arranjo com eixo
e separação , o vetor separação é . Portanto
- Interpretação física curta e amigável:
mede “quanto e em que direção” o par de cargas tende a polarizar/produzir campo; tem direção do negativo para o positivo e unidades de carga vezes comprimento ( ).
Passo 3
Fórmula geral do potencial elétrico de um dipolo na aproximação pontual (derivação por superposição e expansão em
).
- Potencial total por superposição para as duas cargas em
é
onde
é o vetor do centro do dipolo até
e
é distância.
- Para
fazemos expansão em potências de . Usando a expansão de primeira ordem
onde
.
- Substituindo na expressão de
, os termos se cancelam (porque as cargas têm soma nula) e sobra o termo de primeira ordem:
- Reconhecendo
, isso fica na forma compacta conhecida
(esta é a expressão do potencial do dipolo puntual válida para
). Aqui
é a direção do ponto de observação a partir do centro e
é a distância do centro a
.
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 3 ao ponto no plano mediatriz (consequência imediata sobre o potencial).
- No plano mediatriz (equatorial) o vetor
é perpendicular ao eixo do dipolo ( ). Então
- Por isso, substituindo na expressão do passo anterior, o termo dipolar some e temos, já na aproximação do dipolo puntual,
exatamente (na verdade, para duas cargas iguais e opostas o potencial naquele plano é zero por simetria, mesmo sem aproximação de
). Conclusão: potencial elétrico no plano mediatriz é zero.
Passo 5
Fórmula geral do campo elétrico de um dipolo puntual (relacionamento com o potencial) e interpretação.
- O campo elétrico é
. Aplicando a operação ao potencial dipolar dá a forma vetorial padrão:
válida para
. Aqui:
-
é o momento do dipolo, -
é o versor radial do ponto , -
é a distância do centro do dipolo a . - Interpretando: o campo cai como
(muito mais rápido que a de uma carga isolada), e a dependência angular vem do produto escalar .
Passo 6
Aplicação específica ao plano mediatriz: simplificação do campo elétrico.
- No plano mediatriz
, portanto a expressão geral do campo reduz-se a
- Em palavras: o campo em qualquer ponto do plano equatorial está alinhado com
(ou seja, apontando na direção oposta ao vetor que vai do negativo para o positivo), com módulo
- Para verificar com cálculo direto por superposição (checar o sinal): calcular componentes das contribuições das duas cargas mostra que as componentes na direção radial se cancelam e resta apenas uma componente ao longo do eixo do dipolo que aponta de volta ao polo negativo — resultado consistente com o sinal negativo acima.
Passo 7
Resumo final das expressões prontas para a prova (fórmulas compactas, interpretadas).
- (i) Momento de dipolo elétrico:
- (ii) Campo elétrico no plano mediatriz, para
:
(o sinal negativo indica que
aponta em direção oposta a
).
- (iii) Potencial elétrico no plano mediatriz:
Resposta
(i)
. No arranjo escolhido
.\newline
(ii) (para
); módulo
\newline
(iii)
(ii)
(iii)