Distribuição Discreta da Cargas - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,40]
a) [0,40] Dipolo Elétrico: (i#) momento de dipolo elétrico; e (ii#) o campo elétrico e o (iii#*) potencial elétrico, ambos atuando em um ponto localizado no plano que é mediatriz do segmento que une as cargas do dipolo, mas bem longe do mesmo (aproximação do dipolo puntual).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que vamos usar (geometria clara).
  • Pede: (i) definir/expressionar o momento de dipolo elétrico; (ii) achar o campo elétrico; (iii) achar o potencial elétrico — todos avaliados num ponto que está no plano mediatriz do segmento que une as cargas do dipolo, e muito longe do dipolo (aproximação de dipolo puntual).
  • Geometria e notação que vou usar (padrão, simples e útil para prova):
    • Duas cargas pontuais +q e -q separadas por uma distância \,a.)
    • Centro do par de cargas na origem; o eixo do dipolo é o eixo z, com +q em z=+a/2 e -q em z=-a/2.
    • Ponto de observação P está no plano mediatriz (plano x\!y que contém x-axis por conveniência) a uma distância \,r do centro do dipolo; ou seja P=(r,0,0). Importante: vamos usar a hipótese \,r\gg a (distância muito maior que a separação).
    • Constante elétrica \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Observação útil: no plano mediatriz as distâncias do ponto P a cada carga são iguais (simetria), o que simplifica potencias e campos.

Passo 2

Definição do momento de dipolo elétrico (o que é, fórmula e interpretação física).
  • Definição: o momento de dipolo elétrico \mathbf{p} para duas cargas +q e -q separadas por um vetor \mathbf{d} que vai da carga negativa para a positiva é
\mathbf{p}=q\,\mathbf{d}.
  • No nosso arranjo com eixo z e separação \,a, o vetor separação é \mathbf{d}=a\,\hat{\mathbf{z}}. Portanto
\mathbf{p}=q a\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Interpretação física curta e amigável: \mathbf{p} mede “quanto e em que direção” o par de cargas tende a polarizar/produzir campo; tem direção do negativo para o positivo e unidades de carga vezes comprimento ( \text{C}\cdot\text{m}).

Passo 3

Fórmula geral do potencial elétrico de um dipolo na aproximação pontual (derivação por superposição e expansão em a/r).
  • Potencial total por superposição para as duas cargas em P é
V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{|\mathbf{r}-\tfrac{a}{2}\hat{\mathbf{z}}|}-\frac{q}{|\mathbf{r}+\tfrac{a}{2}\hat{\mathbf{z}}|}\right),
onde \mathbf{r} é o vetor do centro do dipolo até P e |\cdot| é distância.
  • Para r\gg a fazemos expansão em potências de a/r. Usando a expansão de primeira ordem
\frac{1}{|\mathbf{r}\pm \tfrac{a}{2}\hat{\mathbf{z}}|}\approx\frac{1}{r}\mp\frac{(\tfrac{a}{2}\hat{\mathbf{z}})\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}+\mathcal{O}\!\left(\frac{a^2}{r^3}\right),
onde \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
  • Substituindo na expressão de V, os termos 1/r se cancelam (porque as cargas têm soma nula) e sobra o termo de primeira ordem:
V(P)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,a\,\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
  • Reconhecendo \mathbf{p}=q a\,\hat{\mathbf{z}}, isso fica na forma compacta conhecida
\boxed{\,V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\,}
(esta é a expressão do potencial do dipolo puntual válida para r\gg a). Aqui \hat{\mathbf{r}} é a direção do ponto de observação a partir do centro e r é a distância do centro a P.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 3 ao ponto no plano mediatriz (consequência imediata sobre o potencial).
  • No plano mediatriz (equatorial) o vetor \hat{\mathbf{r}} é perpendicular ao eixo do dipolo ( \hat{\mathbf{z}}). Então
\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=0.
  • Por isso, substituindo na expressão do passo anterior, o termo dipolar some e temos, já na aproximação do dipolo puntual,
\boxed{\,V(P)=0\,}
exatamente (na verdade, para duas cargas iguais e opostas o potencial naquele plano é zero por simetria, mesmo sem aproximação de r\gg a). Conclusão: potencial elétrico no plano mediatriz é zero.

Passo 5

Fórmula geral do campo elétrico de um dipolo puntual (relacionamento com o potencial) e interpretação.
  • O campo elétrico é \mathbf{E}=-\nabla V. Aplicando a operação ao potencial dipolar dá a forma vetorial padrão:
\boxed{\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{r^3}\Big[3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}\Big]\,}
válida para r\gg a. Aqui:
  • \mathbf{p} é o momento do dipolo,
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor radial do ponto P,
  • r é a distância do centro do dipolo a P.
  • Interpretando: o campo cai como 1/r^3 (muito mais rápido que a 1/r^2 de uma carga isolada), e a dependência angular vem do produto escalar \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}.

Passo 6

Aplicação específica ao plano mediatriz: simplificação do campo elétrico.
  • No plano mediatriz \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=0, portanto a expressão geral do campo reduz-se a
\mathbf{E}(P)\approx -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}}{r^3}.
  • Em palavras: o campo em qualquer ponto do plano equatorial está alinhado com -\mathbf{p} (ou seja, apontando na direção oposta ao vetor que vai do negativo para o positivo), com módulo
E(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p}{r^3}.
  • Para verificar com cálculo direto por superposição (checar o sinal): calcular componentes das contribuições das duas cargas mostra que as componentes na direção radial se cancelam e resta apenas uma componente ao longo do eixo do dipolo que aponta de volta ao polo negativo — resultado consistente com o sinal negativo acima.

Passo 7

Resumo final das expressões prontas para a prova (fórmulas compactas, interpretadas).
  • (i) Momento de dipolo elétrico:
\boxed{\,\mathbf{p}=q\,\mathbf{d}\,,\quad\text{no caso } \mathbf{d}=a\,\hat{\mathbf{z}}\text{ temos }\mathbf{p}=q a\,\hat{\mathbf{z}}\,}
  • (ii) Campo elétrico no plano mediatriz, para \,r\gg a:
\boxed{\,\mathbf{E}(P)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}}{r^3}\,,\quad\text{com }E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{p}{r^3}\,}
(o sinal negativo indica que \mathbf{E} aponta em direção oposta a \mathbf{p}).
  • (iii) Potencial elétrico no plano mediatriz:
\boxed{\,V(P)=0\,}

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{p}=q\,\mathbf{d}. No arranjo escolhido \displaystyle \mathbf{p}=q a\,\hat{\mathbf{z}}.\newline
(ii) \displaystyle \mathbf{E}(P)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}}{r^3} (para \,r\gg a); módulo \displaystyle E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{p}{r^3}.\newline
(iii) \displaystyle V(P)=0.

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