Para uma distribuição esférica de cargas dada por:
Demonstre que E é máximo quando rhov= rho0(a^2-r^2), & ra .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma distribuição esférica de cargas com densidade
rhov(r) = rho0,(a^2 - r^2), & r < a, 0, & r > a
O objetivo é mostrar que o campo elétrico fica máximo em
.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss) e cálculo de máximos (derivada). Vamos precisar:
  1. usar Gauss pra achar dentro da esfera,
  2. derivar pra encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

Calcular a carga total contida em uma superfície gaussiana de raio oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0 Longrightarrow E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 .
Pela Lei de Gauss:
Qrm int(r) = integral0^r rhov(r'),4pi r'^2,dr' = 4pirho0!integral0^r (a^2 - r'^2),r'^2,dr'
Então precisamos de
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Integral de integral0^r (a^2r'^2 - r'^4),dr' = a^2integral0^r r'^2,dr' ;-;integral0^r r'^4,dr' = a^2r^33 ;-;r^55 a Qrm int(r) =4pirho0l(a^2r^33-r^55r) :
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0;4pirho0l(tfraca^2r^33-tfracr^55r) Longrightarrow E(r) = rho0varepsilon0,a^2r^3/3 - r^5/5r^2 =rho0varepsilon0l(a^2r3-r^35r)
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Substituindo em Gauss:

Passo 4

Para achar o máximo de dEdr =rho0varepsilon0l(a^23-3r^25r) stackrel!=0 ;Longrightarrow; a^23=3r^25 ;Longrightarrow; r^2 = 59,a^2 ;Longrightarrow; r = raiz53,a , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Dá pra conferir que a segunda derivada é negativa, então é mesmo um máximo.

Resposta

O campo elétrico boxedr = raiz53,a atinge seu valor máximo para

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