Para uma distribuição esférica de cargas dada por:
Demonstre que E é máximo quando
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma distribuição esférica de cargas com densidade
O objetivo é mostrar que o campo elétrico
fica máximo em
.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss) e cálculo de máximos (derivada). Vamos precisar:
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss) e cálculo de máximos (derivada). Vamos precisar:
- usar Gauss pra achar
dentro da esfera, - derivar
pra encontrar o ponto de máximo.
Passo 2
Calcular a carga total contida em uma superfície gaussiana de raio
.
Pela Lei de Gauss:
Pela Lei de Gauss:
Então precisamos de
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Integral de
a
:
Logo
Substituindo em Gauss:
Passo 4
Para achar o máximo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Dá pra conferir que a segunda derivada é negativa, então é mesmo um máximo.
Resposta
O campo elétrico
atinge seu valor máximo para