Para uma distribuição esférica de cargas dada por:
Determine a carga total.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede: a densidade de carga de uma distribuição esférica é
rhov(r)= rho0l(a^2 - r^2r),&ra
Estamos na matéria de cargas elétricas contínuas e precisamos calcular a carga total . Para isso, vamos integrar a densidade no volume usando coordenadas esféricas. Vamos precisar lembrar que o elemento de volume é

e que a parte angular dá um fator .

Passo 2

Montando a integral da carga total:
Q=integraltudo rhov,dV =integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^a rho0l(a^2-r^2r),r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Como integral0^2pi!dphiintegral0^pi!sintheta,dtheta = 4pi para , o limite em vai de até . A parte angular separa assim:
Então sobra só a parte radial:

Passo 3

Q = 4pi,rho0 integral0^a (a^2 - r^2),r^2,dr =4pi,rho0 integral0^a l(a^2r^2 - r^4r),dr
Agora integramos termo a termo:
integral0^a a^2r^2,dr = a^2r^33|0^a = a^53, integral0^a r^4,dr = r^55|0^a = a^55
Substituindo de volta:
Q = 4pi,rho0l(a^53 - a^55r) =4pi,rho0,a^5l(13-15r) =4pi,rho0,a^5cdot215

Resposta

boxedQ = 8pi,rho0,a^515

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