Em uma região, a densidade de campo elétrico é dada por:
D=2 rho(z+1) cos emptyset arho-rho(z+1) sin emptyset aemptyset+rho^2 cos emptyset az
Calcule a carga total encerrada em um volume dado por: 0.

Passo 1

Beleza, o exercício tá assim: temos um campo de fluxos elétricos (densidade de fluxo) em coordenadas cilíndricas dado por
D ;=; 2rho,(z+1)cosvarphi,hat arho ;-;rho,(z+1)sinvarphi,hat avarphi ;+;rho^2cosvarphi,hat az
e a gente quer a carga total dentro do volume definido por
0
Conteúdo: Teorema da divergência (ou Lei de Gauss no vácuo), divergência em coordenadas cilíndricas e integração de volume.
O que vamos precisar:
  1. Calcular em cilíndricas.
  2. Integrar essa divergência no volume dado pra achar a carga total .

Passo 2

Primeiro, lembra a fórmula da divergência em cilindricas:
nabla!cdot!vec D = 1rho,partial(rho,Drho)partialrho + 1rho,partial Dvarphipartialvarphi + partial Dzpartial z
Aqui
Drho=2rho,(z+1)cosvarphi, Dvarphi=-rho,(z+1)sinvarphi, Dz=rho^2cosvarphi
Vamos calcular termo a termo:
  1. nabla!cdot!vec D =4(z+1)cosvarphi ;-;(z+1)cosvarphi ;+;0 =3,(z+1),cosvarphi

  2. (já que não tem aí).
Somando tudo:

Passo 3

Agora a carga total Q = integralz=0^4integralvarphi=0^pi/2integralrho=0^2 l[3,(z+1)cosvarphi r];rho,drho,dvarphi,dz é a integral tripla da densidade volumétrica integral0^23,(z+1)cosvarphi;rho,drho =3,(z+1)cosvarphi integral0^2rho,drho =3,(z+1)cosvarphi;2^22 =3,(z+1)cosvarphi;2 =6,(z+1)cosvarphi :
integral0^pi/26,(z+1)cosvarphi,dvarphi =6,(z+1);l[sinvarphir]0^pi/2 =6,(z+1)times1 =6,(z+1)
Vamos integrar em integral0^46,(z+1),dz =6;integral0^4(z+1),dz =6;l[tfracz^22+zr]0^4 =6;l(8+4r) =6times12 =72 primeiro:
Depois em :
Por fim em :

Resposta

A carga total encerrada no volume é .

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