Para uma distribuição esférica de cargas dada por:
Determine E e V para rhov= rho0(a^2-r^2), & ra .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o campo elétrico $ E $ e o potencial elétrico $ V $ para pontos fora de uma distribuição esférica de cargas. A distribuição de carga é dada por:
E
Então, vamos usar os conceitos de Lei de Gauss e potencial elétrico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a carga total $ Q $ dentro da esfera de raio $ a $. Como a densidade de carga depende de $ r $, faremos uma integração sobre o volume da esfera:
Q

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo:
Q = 4pi rho0 integral0^a (a^2 r^2 - r^4) dr
Integrando termo a termo:
Q = 4pi rho0 [ a^2 r^33 - r^55 ]0^a = 4pi rho0 ( a^53 - a^55 ) = 4pi rho0 ( 2a^515 ) = 8pi rho0 a^515

Passo 4

Agora que temos a carga total $ Q $, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico $ E $ para $ r \geq a $. A Lei de Gauss nos diz que:
Q
Como a simetria é esférica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana de raio $ r $, então:
E
Substituindo $ Q $:
r >= a

Passo 5

Agora, para achar o potencial elétrico $ V $, sabemos que ele está relacionado ao campo elétrico por:
V
Como o campo para $ r \geq a $ é:
V(r) = - integralinfty^r E , dr
Integrando:
r >= a

Resposta

Para $ r \geq a $:
r >= a
e
E = 2 rho0 a^515 varepsilon0 r^2

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