Para uma distribuição esférica de cargas dada por:
Determine E e V para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o campo elétrico $ E $ e o potencial elétrico $ V $ para pontos fora de uma distribuição esférica de cargas. A distribuição de carga é dada por:
Então, vamos usar os conceitos de Lei de Gauss e potencial elétrico para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a carga total $ Q $ dentro da esfera de raio $ a $. Como a densidade de carga depende de $ r $, faremos uma integração sobre o volume da esfera:
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Agora que temos a carga total $ Q $, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico $ E $ para $ r \geq a $. A Lei de Gauss nos diz que:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana de raio $ r $, então:
Substituindo $ Q $:
Passo 5
Agora, para achar o potencial elétrico $ V $, sabemos que ele está relacionado ao campo elétrico por:
Como o campo para $ r \geq a $ é:
Integrando:
Resposta
Para $ r \geq a $:
e