Questão 3. Uma pergunta foi feita para 100 pessoas e foi feito o teste do polígrafo (detector de mentiras) nestas pessoas para verificar se elas estavam mentindo ou dizendo a verdade. A tabela abaixo apresenta as respostas destas pessoas.
Polígrafo indicou Verdade Polígrafo indicou Mentira
Pessoa disse a verdade 65 15
Pessoa disse uma mentira 3 17
Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente. Responda:
a) Qual a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que disse a verdade? R : 0,8
b) Qual a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que disse uma mentira? R: 0,2
c) Qual a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que o polígrafo indicou que uma mentira foi dita? R: 0,32
d) Qual a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que disse a verdade ou que o polígrafo indicou que a verdade foi dita? R: 0 , 8 3
e) Qual a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que disse a verdade dado que o polígrafo indicou que uma mentira foi dita? R: 0,47
f) Qual a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que o polígrafo indicou que uma verdade dado que a pessoa, de fato, disse a verdade? R: 0 , 8 1
g) Os eventos "dizer a verdade"e "o polígrafo indicou que uma verdade foi dita"são independentes? R: Não

Passo 1

O enunciado descreve um experimento com 100 pessoas testadas por um polígrafo para avaliar se disseram a verdade ou mentiram. Temos uma tabela de contingência com as contagens dos casos verdadeiros e falsos, e do resultado do polígrafo. O conteúdo aqui é Probabilidade (marginal, conjunta, condicional) e Independência de eventos.

Passo 2

Começamos calculando as somas marginais a partir da tabela: o número de pessoas que disseram a verdade é 65+15=80, que mentiram é 3+17=20; o polígrafo indicou verdade em 65+3=68 casos e mentira em 15+17=32 casos.

Passo 3

Para responder (a) e (b), usamos a definição de probabilidade de um evento como frequência relativa. Assim, (a) P(verdade) = 80/100 = 0,8 e (b) P(mentira) = 20/100 = 0,2.

Passo 4

Para ©, queremos P(polígrafo indica mentira), que é o total de indicações de mentira sobre 100, ou seja 32/100 = 0,32.

Passo 5

Para (d), o evento é “disse a verdade ou o polígrafo indicou verdade”. Usamos a fórmula da união:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
onde A=“disse verdade”, B=“polígrafo indica verdade”. Temos P(A)=0,8, P(B)=68/100=0,68 e P(A∩B)=65/100=0,65. Logo
P(Acup B)=0,8+0,68-0,65=0,83

Passo 6

Para (e), calculamos a probabilidade condicional P(verdade | polígrafo indica mentira)=P(verdade ∩ polígrafo indica mentira)/P(polígrafo indica mentira)=15/32 ≈ 0,47.

Passo 7

Para (f), P(polígrafo indica verdade | disse verdade)=P(verdade ∩ polígrafo indica verdade)/P(verdade)=65/80=0,8125 ≈ 0,81.

Passo 8

Para (g), verificamos se P(verdade ∩ polígrafo indica verdade)=P(verdade)·P(polígrafo indica verdade). Como 0,65 ≠ 0,8·0,68=0,544, os eventos não são independentes.

Resposta

a) 0,8; b) 0,2; c) 0,32; d) 0,83; e) 0,47; f) 0,81; g) Não são independentes.

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