A distribuição de frequências do salário anual dos moradores do bairro A que têm alguma forma de rendimento é apresentada a seguir:
Tabela 2: Distribuição de frequências do salário anual de moradores do bairro A.
Faixa salarial (times salários minímos ) Frequência
[0 ; 2) 10.000
[2 ; 4) 3.900
[4 ; 6) 2.000
[6 ; 8) 1.100
[8 ; 10) 800
[10 ; 12) 700
[12 ; 14) 2.000
Total 20.500
Se for concedido um abono de 2 salários mínimos para todos moradores, haverá alteração na média? E na variância? E na mediana? Justifique.

Passo 1

Beleza, temos uma tabela que mostra quantas pessoas ganham em cada faixa de salários mínimos por ano no bairro A. A gente quer saber o que acontece com as medidas estatísticas (média, variância e mediana) se todo mundo receber um abono fixo de 2 salários mínimos.
Conteúdo da matéria: estatística descritiva – medidas de tendência central (média e mediana) e dispersão (variância) – e, especialmente, as propriedades dessas medidas quando você adiciona uma constante a todos os dados.

Passo 2

Vamos falar da média.
  • Definição: bar y ;=;1nsumi=1^n yi ;=;1nsumi=1^n (xi + 2) ;=;1nl(sumi=1^n xi + 2nr) ;=;bar x + 2 .
  • Se cada observação vira , a nova média é
Ou seja, a média sobe exatamente os 2 salários mínimos do abono.

Passo 3

Agora a variância.
  • Definição (populacional): yi - bar y ;=;(xi+2)-(bar x+2) ;=;xi - bar x .
  • Se Var(Y) = 1nsum (yi-bar y)^2 = 1nsum (xi-bar x)^2 = Var(X) , então e
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Portanto, a variância não muda quando a gente adiciona uma constante.

Passo 4

E a mediana?
  • A mediana é o valor central quando você ordena todos os .
  • Se cada valor sobe 2, todo mundo “anda 2 pra cima” na reta dos números. Então o ponto central também anda 2 pra cima.
    Em resumo, a mediana também aumenta em 2 salários mínimos.

Resposta

Média: aumenta em 2;
Variância: permanece inalterada;
Mediana: aumenta em 2.

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