A distribuição de frequências do salário anual dos moradores do bairro A que têm alguma forma de rendimento é apresentada a seguir:
Tabela 2: Distribuição de frequências do salário anual de moradores do bairro A.
Faixa salarial (times salários minímos ) Frequência
[0 ; 2) 10.000
[2 ; 4) 3.900
[4 ; 6) 2.000
[6 ; 8) 1.100
[8 ; 10) 800
[10 ; 12) 700
[12 ; 14) 2.000
Total 20.500
Se for concedido um aumento de 100% para todos os moradores, haverá alteração na média? E no desvio padrão? Justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a distribuição de frequência do salário anual dos moradores do bairro A (em número de salários mínimos), com um total de 20 500 pessoas. A pergunta é: se a gente der um aumento de 100 % para todo mundo (ou seja, dobrar o salário de cada um), o que acontece com a média e com o desvio padrão?
Conteúdo: Estatística descritiva – média e desvio padrão e, mais especificamente, as propriedades de transformações lineares em variáveis (aqui, multiplicar tudo por 2).

Passo 2

Primeiro, lembra da definição geral: se é a nossa variável (salário original), temos
(a média)
(o desvio padrão).
Agora, se construirmos uma nova variável , valem as propriedades:
  1. .
  2. , logo .

Passo 3

No nosso caso, “dar aumento de 100 %” significa multiplicar o salário original por muY = 2,muX + 0 = 2,muX . Ou seja, sigmaY = |2|,sigmaX = 2,sigmaX e . Aplicando as fórmulas:
  1. Média nova: Ou seja, a média dobra.
  2. Desvio padrão novo: Ou seja, o desvio padrão também dobra.

Resposta

Com aumento de 100 % (multiplicação por 2):
– A média dos salários dobra.
– O desvio padrão dos salários também dobra.

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