A distribuição Gaussiana em uma dimensão e usualmente escrita como
em que
e
.
Verifique que
Verifique que
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade Gaussiana unidimensional
valendo para
,
e
.
A pergunta é: verifique que
A pergunta é: verifique que
Lista das informações relevantes fornecidas:
- A função
é a densidade de probabilidade (pdf) da variável . - Os parâmetros são
(centro/posição) e (desvio padrão). - Deve-se calcular o valor esperado (média)
e mostrar que é igual a .
Passo 2
Definição do valor esperado (média) para uma variável contínua: para uma pdf
,
Antes de usar essa definição, é conveniente lembrar que
está normalizada, isto é
Breve verificação da normalização (passo útil e rápido): faz-se a mudança de variável
então
Sabendo que
, obtém-se
confirmando a normalização.
Passo 3
Agora aplicamos a definição de média:
Uma técnica muito prática é escrever
como soma de
e o deslocamento
:
Substituindo na integral, dividimos em duas partes:
Passo 4
Separando as integrais:
A primeira integral é simplesmente
, pois já verificamos a normalização:
Passo 5
Resta mostrar que a segunda integral é zero:
Façamos a mudança de variável simétrica
. Então
varia de
a
e
. A integral fica
Observe que a função
é ímpar, isto é,
Integrar uma função ímpar em limites simétricos
a
dá zero. Portanto
Passo 6
Juntando os resultados:
Interpretando: a média da Gaussiana está localizada exatamente em
, que é o parâmetro de posição da distribuição.