A distribuição Gaussiana em uma dimensão e usualmente escrita como
p\left(x ; x_{o}, \sigma\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{o}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}},
em que -\infty<x<\infty,-\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
Verifique que \langle x\rangle=x_{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade Gaussiana unidimensional
p\left(x ; x_{0}, \sigma\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2\sigma^{2}}},
valendo para -\infty<x<\infty, -\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
A pergunta é: verifique que
\langle x\rangle = x_{0}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A função p(x;x_{0},\sigma) é a densidade de probabilidade (pdf) da variável x.
  • Os parâmetros são \,x_{0} (centro/posição) e \sigma>0 (desvio padrão).
  • Deve-se calcular o valor esperado (média) \langle x\rangle e mostrar que é igual a x_{0}.

Passo 2

Definição do valor esperado (média) para uma variável contínua: para uma pdf p(x),
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\,p(x)\,dx.
Antes de usar essa definição, é conveniente lembrar que p(x;x_{0},\sigma) está normalizada, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} p(x;x_{0},\sigma)\,dx = 1.
Breve verificação da normalização (passo útil e rápido): faz-se a mudança de variável
u=\frac{x-x_{0}}{\sigma\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad dx=\sigma\sqrt{2}\,du,
então
\int_{-\infty}^{\infty} p(x;x_{0},\sigma)\,dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot\sigma\sqrt{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}\,du.
Sabendo que \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}\,du=\sqrt{\pi}, obtém-se
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot\sigma\sqrt{2}\cdot\sqrt{\pi}=1,
confirmando a normalização.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de média:
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\,p(x;x_{0},\sigma)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} x\;\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
Uma técnica muito prática é escrever x como soma de x_{0} e o deslocamento x-x_{0}:
x = x_{0} + (x-x_{0}).
Substituindo na integral, dividimos em duas partes:
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \left[x_{0} + (x-x_{0})\right]\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.

Passo 4

Separando as integrais:
\langle x\rangle = x_{0}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx \;+\; \int_{-\infty}^{\infty} (x-x_{0})\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
A primeira integral é simplesmente x_{0}\times 1, pois já verificamos a normalização:
x_{0}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx = x_{0}.

Passo 5

Resta mostrar que a segunda integral é zero:
I\equiv \int_{-\infty}^{\infty} (x-x_{0})\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
Façamos a mudança de variável simétrica u=x-x_{0}. Então u varia de -\infty a +\infty e dx=du. A integral fica
I=\int_{-\infty}^{\infty} u\;\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma^{2}}}\,du.
Observe que a função u\mapsto u\,e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma^{2}}} é ímpar, isto é,
u\,e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma^{2}}} = -(-u)\,e^{-\frac{(-u)^{2}}{2\sigma^{2}}}.
Integrar uma função ímpar em limites simétricos -\infty a +\infty dá zero. Portanto
I=0.

Passo 6

Juntando os resultados:
\langle x\rangle = x_{0} + 0 = x_{0}.
Interpretando: a média da Gaussiana está localizada exatamente em x_{0}, que é o parâmetro de posição da distribuição.

Resposta

\langle x\rangle = x_{0}

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