Na distribuição gaussiana, temos que a probabilidade é dada por
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
Determine os seguintes observáveis:
(c) \overline{x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade de uma variável contínua x na forma de uma gaussiana com média x_{0} e variância \sigma^{2}:
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl[-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr].
Precisamos calcular o observável \overline{x^{3}}, isto é, a esperança E[x^{3}]. Para isso usaremos a definição de valor esperado e propriedades dos momentos de uma gaussiana.

Passo 2

Escrevemos a definição de expectativa de x^{3}:
\overline{x^{3}} =E[x^{3}] =\int_{-\infty}^{\infty}x^{3}\,\wp(x)\,dx.
Fazemos a mudança de variável y=x - x_{0}, de modo que y segue uma gaussiana de média zero e mesma variância \sigma^{2}. Então x = y + x_{0} e dx=dy.

Passo 3

Expandimos o cubo de x:
x^{3}=(y+x_{0})^{3} =y^{3}+3x_{0}y^{2}+3x_{0}^{2}y+x_{0}^{3}.
Assim
\overline{x^{3}} =\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(y^{3}+3x_{0}y^{2}+3x_{0}^{2}y+x_{0}^{3}\bigr)\,\wp_{Y}(y)\,dy,
onde \wp_{Y}(y) é a gaussiana de média zero.

Passo 4

Usamos que para uma gaussiana Y\sim N(0,\sigma^{2}) vale
E[y]=0,\quad E[y^{2}]=\sigma^{2},\quad E[y^{3}]=0.
Logo, ao calcular cada termo:
  • E[y^{3}]=0,
  • 3x_{0}\,E[y^{2}]=3x_{0}\,\sigma^{2},
  • 3x_{0}^{2}\,E[y]=0,
  • E[x_{0}^{3}]=x_{0}^{3}.
Somando tudo:
\overline{x^{3}} =x_{0}^{3}+3x_{0}\,\sigma^{2}.

Resposta

\overline{x^{3}}=x_{0}^{3}+3x_{0}\,\sigma^{2}.

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